Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1030Relacje
WiloczyniekartezjańskimX×Y,gdzieXiYsąpewnymizbiorami,okre-
ślasięrelacjedwuczłonowe.
Relacjądwuczłonową(dwuargumentową)ρwiloczyniekartezjań-
skimX×Ynazywamypodzbiórtegoiloczynukartezjańskiego.
Stwierdzenie,żexjestwrelacjiρzy(x,yzwiązanesąrelacjąρ)zapisuje
sięwpostaci:(x,y)∈ρlubjakoxρy.
Zbiórpoprzednikówparyuporządkowanej(x,y)nazywamydziedzi-
nąrelacjiρ,zaśzbiórnastępników-przeciwdziedzinąrelacjiρ⊂X×Y.
Przykład10130
Relacjęxρy⇔x
2-y≥0określonąwiloczyniekartezjańskimR×R
utożsamiamyzezbiorem{(x,y)∈R×R:y≤x
2}.Wynikastąd,żenp.2ρ4
((2,4)∈ρ),natomiast~2ρ5((2,5)∉ρ).Dziedzinąiprzeciwdziedziną
relacjijestzbiórliczbrzeczywistych.
Przykład10140
Relacjęxρy⇔x
2+y2=1określonąwiloczyniekartezjańskim
〈-1,1〉×〈-1,1〉spełniająwszystkiepunktynależącedookręguośrodku
wpunkcie(0,0)ipromieniu1.Zarównodziedziną,jakiprzeciwdziedziną
relacjijestprzedział〈-1,1〉.
Relacjemogącharakteryzowaćsięróżnymiwłasnościami.Spośródre-
lacjiρ⊂A×Awyróżniamyrelacjezwrotne,antyzwrotne,symetryczne,
antysymetryczne,słaboantysymetryczne,przechodnieispójne.
Relacjaρjestzwrotna,jeślikażdyelementzbioruAjestwrelacjiρsam
zesobą,tzn.v
xA
e
xρx.
Relacjaρjestantyzwrotna(przeciwzwrotna),jeśliżadenelement
zbioruAniejestwrelacjiρsamzesobą,tzn.v
xA
e
~xρx.
Relacjaρjestsymetrycznawtedyitylkowtedy,gdy
xyA
,
v
e
xρy⇒yρx.
1030Relacje
21
