Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
FormązdaniowązmiennejxokreślonąwzbiorzeX,nazywamywyrażeniezawierają-
cetęzmienną,którestajesięzdaniem(prawdziwymlubfałszywym),gdywmiejsce
zmiennejwstawimydowolnyelementzezbioruX.
Naprzykładwyrażenie:xjestwiększeod5,jestformązdaniowąokreśloną
wzbiorzeliczbrzeczywistych.Wstawiajączaxliczbę1,otrzymamyzdaniefałszywe,
aprzyjmującx=7–zdanieprawdziwe.
Symbol
ˣ
nazywamykwantyfikatoremogólnymiczytamy:
dlakażdegox.
Symbol
ˣ
nazywamykwantyfikatoremszczegółowymiczytamy:
istniejextakie,że...0
Jeśliformęzdaniowązmiennejxpoprzedzimykwantyfikatoremodnoszącymsiędo
tejzmiennej,tootrzymamyzdanie.Naprzykład:
ˣ
(x>5)–zdaniefałszywe,.
ˣ
(x>5)–zdanieprawdziwe.
Zaprzeczeniemzdania
ˣ
p(x)jestzdanie
ˣ
~p(x).
Zaprzeczeniemzdania
ˣ
p(x)jestzdanie
ˣ
~p(x).
SątoprawadeMorganadlazdańzkwantyfikatorem.
Matematykajakonaukaaksjomatyczno-dedukcyjna
Matematykajestnaukąaksjomatyczno–dedukcyjną.Oznaczato,żeprzyjmujesię
wniejbezdokładnegookreśleniapewnepojęciapierwotne,orazbezdowodupewne
fakty(zwaneaksjomatami).Wszystkiedalszefakty(zwanetwierdzeniami)wyprowa
dzasięznichzapomocąpoprawnychrozumowań.Jedynymkryteriumpoprawności
rozumowaństosowanychwmatematycesąprawalogikimatematycznej.Wybórpo-
jęćpierwotnychiaksjomatówmożebyćróżnorodnyizależyodsposobuprzedstawie
niadanejteorii.Naogółzapojęciapierwotneprzyjmujesiępojęciaintuicyjnejasne,
azaaksjomaty–faktyoczywiste.Przykładamipojęćpierwotnychsą:punkt,prosta,
zbiór,liczbanaturalna.Przykłademaksjomatujestprzyjmowanywgeometriiaksjo-
matEuklidesa,mówiącyżeprzezkażdypunktpłaszczyznyprzechodzidokładnie
jednaprostarównoległadodanejprostej.Twierdzeniamatematycznemająnaogół
postaćimplikacji:Z⇒T.PoprzednikZtejimplikacjinazywamyzałożeniemtwierdzenia,
anastępnikT–tezątwierdzenia.TwierdzeniemodwrotnymdotwierdzeniaZ⇒Tna-
zywamytwierdzenieT⇒Z.KontrapozycjątwierdzeniaZ⇒Tnazywamytwierdzenie
~T⇒~Z.Twierdzenieijegokontrapozycjasązawszerównoważne,tzn.majątęsamą
wartośćlogiczną.
