Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12010Liniowośćinieliniowość5
sywanegorównaniem(12.1)przyłożymysiłęwymuszającąF(t),toodpowiadającetej
sytuacjirównanieruchu
m¨
x11kx+F(t)7
(12.2)
nadalbędzieliniowe[choćniebędziejużjednorodne,ponieważwczłonie„niejednorod-
nym”F(t)zmiennazależnaxwogóleniewystępuje].Wodróżnieniuodtegorównania,
równanieruchudlawahadłamatematycznegopłaskiego(omasiemidługościL)ma
postaćI¨
01Ŵ,coinaczejmożnazapisaćjako
mL2¨
011mgLsin0.
(12.3)
Jesttonieliniowerównaniedla0,ponieważsin0jestnieliniowąfunkcją0.(Jeślidrga-
niasąmałe,tosin0≈0irównanieruchuwahadłamożnazdobrymprzybliżeniem
zastąpićrównaniemliniowym,jednakwogólnymprzypadkurównanieruchuwahadła
matematycznegojestzdecydowanienieliniowe).Innymprzykłademjestrównanieruchu
planetywpoluprzyciąganiaSłońca,
m¨
r11GmMˆ
r/r27
(12.4)
którejestnieliniowymrównaniemdlar1(x7y7z),ponieważwyrażeniedlasiłyjest
nieliniowąfunkcjąx,y,z.Tedwaprzykładypokazują,żerównanianielinioweniesą
czymśniecodziennym.Wręczprzeciwnie,wieledobrzeznanychzżyciacodziennego
układówjestopisywanychrównaniami,któresąnieliniowe.
Wnaszychdotychczasowychrozważaniachwtejksiążcegłównąróżnicąmiędzy
liniowymiinieliniowymirównaniamiróżniczkowymibyłoto,żewprzypadkurów-
nańliniowychdawałosięłatwoznaleźćrozwiązaniawpostacianalitycznej,natomiast
wprzypadkuwiększościrównańnieliniowychuzyskanierozwiązaniaanalitycznegoby-
łoniemożliwe.Takteżjestwrzeczywistości:niemalwszystkieliniowerównaniamecha-
nikidajesięrozwiązaćanalitycznie,natomiastwprzypadkuniemalwszystkichrów-
nańnieliniowychniemożnatakiegorozwiązaniauzyskać2.Tymnależytłumaczyćfakt,
żenaukowcydoniedawnaniezdawalisobiesprawy,iżchaosjestważnymipowszech-
nymzjawiskiem.Ponieważrównanianielinioweniedająsięrozwiązać,więcpodręczniki
koncentrowałysięnazagadnieniachliniowych.Wtychsytuacjach,kiedyniemożnabyło
uniknąćrozwiązywaniazagadnienianieliniowego,posługiwanosięczęstoprzybliżenia-
mi,któreredukowałytezagadnieniadoproblemówliniowych.Wtensposóbniesłycha-
naróżnorodnośćzachowańukładównieliniowychpozostawałaniemalniezauważona.
Pierwszymbadaczem,któryzauważył,żeruchciałwpewnychokolicznościachmoże
wykazywaćwłaściwościchaotyczne,byłfrancuskimatematykHenriPoincaré(1854–
1912).Zajmowałsięongrawitacyjnymproblememtrzechciał—czylizagadnieniem
ruchutrzechciał(naprzykładukładuSłońce,ZiemiaiKsiężyc)oddziałującychsiłami
grawitacyjnymi.Równanieruchudlategoukładujestnieliniowe(takjakodpowiadają-
cemurównanie(12.4)dlazagadnieniadwóchciał);Poincarézauważył,żerozwiązania
2Jednymzrzadkichprzykładównieliniowegorównaniadającegosięrozwiązaćanalityczniejestrów-
nanie(12.4)dlaruchuplanety,którejorbitęwyznaczyliśmywrozdziale8.Należyjednakpodkreślić,że
dokonaliśmytegozapomocąbardzosprytnejzamianyzmiennych,dziękiktórejrównanienieliniowe(8.37)
dlarzamieniłosięwrównanieliniowe(8.45)dlau.
