Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12010Liniowośćinieliniowość7
coskomplikowane,abyniektóreichrozwiązaniamiałycharakterchaotyczny.Tłumione
wahadłozwymuszeniemiwahadłopodwójnetodwanajprostszeukładymechaniczne,
wykazującezachowaniechaotyczne.Tłumionewahadłozwymuszeniemmatylkojeden
stopieńswobody(jegostanmożnaopisaćzapomocąjednejwspółrzędnej0),natomiast
wahadłopodwójnemadwastopnieswobody(doopisustanutrzebaużyćdwóchkątów
01i02).Topowoduje,żeanalizazachowaniatłumionegowahadłazwymuszeniemjest
prostsza,dlategowdalszejczęściskupimysięprzedewszystkimnatymukładzie.
Cóżjesttakiegoszczególnegownieliniowości?
Wolbrzymimzbiorzewszystkichmożliwychrównańróżniczkowychrównaniali-
niowetworząniewielkipodzbiórrównań,charakteryzującychsięwielomaprostymiwła-
ściwościami,którychniemająnaogółrównanianieliniowe.Wrzeczywistościwięcto
równanialiniowesą„szczególne”.Niemniejjednakwielufizykówznacznielepiejzna
równanialiniowe—zpowodów,októrychjużmówiliśmy—copowoduje,żeniekie-
dyzakładająoni,iżdobrzeznanewłaściwościrównańliniowychprzenosząsiętakżena
przypadekrównańnieliniowych.Toniebezpiecznezałożenieczęstookazujesiębłędne.
Wszczególnościokazujesię,żechaos,którynigdyniewystępujewukładachliniowych,
jestwprzypadkuukładównieliniowychzjawiskiempowszechnym—takiejestwistocie
główneprzesłanietegorozdziału.Niestety,teoriawyjaśniającaakurattęróżnicęwykra-
czapozaramyniniejszejksiążki,dlategozadowolimysięjedynieopisemkilkuprostych
przykładówruchuchaotycznego,bezwdawaniasięwgłębszedociekania,jakiesąprzy-
czynywystępowaniachaosu.Poniżejopisujędokładniejtylkojednązasadnicząróżnicę
międzyrównaniamiliniowymiinieliniowymi,którapokazuje,jakważnejest,abyśmy
wbadaniachnadrównaniaminieliniowyminiedalisięzwieśćnawykomwyniesionym
zestudiównadukładamiliniowymi.
Wrównaniachnieliniowychnieobowiązujezasadasuperpozycji
Wrozdziale5przekonaliśmysię,żewprzypadkujednorodnychrównańliniowych
obowiązujezasadasuperpozycji:dowolnakombinacjaliniowarozwiązańtakżejestroz-
wiązaniemrównania.Ztegofaktukorzystaliśmywielerazy,wszczególnościwrozdzia-
łach5i11,pozwalamsobiejednakodświeżyćwiadomościnatentematposiadaneprzez
Czytelnikanaprzykładzierównaniadrugiegorzędupostaci:
p(t)¨
x(t)+q(t)˙
x(t)+r(t)x(t)107
(12.6)
gdziex(t)jestniewiadomą,ap(t),q(t)ir(t)sąznanymi,ustalonymifunkcjami.[Przy-
kłademrównaniatejpostacijestrównanie(12.1)dlawózkaprzyczepionegodospręży-
ny].Zwróćmyprzedewszystkimuwagę,żezliniowościkażdegoczłonutegorównania
względemx(t)wynika,iżfunkcjaax(t),otrzymanaprzezpomnożeniedowolnegoroz-
wiązaniax(t)tegorównaniaprzezstałąa,takżejestrozwiązaniem.Podrugie,jeślix1(t)
ix2(t)sąrozwiązaniami,tox1(t)+x2(t)takżejestrozwiązaniem,oczymmożemysię
łatwoprzekonać,dodającdosiebierównaniaspełnianeprzezx1(t)ix2(t).Stwierdzamy
więc,żedowolnakombinacjaliniowarozwiązań
x(t)1a1x1(t)+a2x2(t)
