Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6120Mechanikanieliniowaichaos
tegorównaniamająpewnąszczególnąwłaściwość,nazywanąobecniewrażliwościąna
warunkipoczątkowe,która,jaksięprzekonamy,jestjednązcechcharakterystycznych
ruchuchaotycznego.
Fakt,żespostrzeżeniaPoincarégodotyczącezachowaniachaotycznegopozostały
niezauważoneprzezfizykóważdolat70.,wynikałprzypuszczalniezkilkuprzyczyn.
Przedewszystkimsformułowanieteoriiwzględności(1905)imechanikikwantowej
(około1925)odwróciłouwagęwiększościfizykówodmechanikiklasycznej.Pozatym
trudnościpojawiającesięprzyrozwiązywaniurównańnieliniowychbezpomocykom-
puterówzpewnościązniechęcałybadaczydozajmowaniasięproblemaminieliniowymi.
Takczyinaczej,dopierowlatach70.numerycznerozwiązaniarozmaitychproblemów
nieliniowych3spowodowały,żewielunaukowców(fizykówiprzedstawicieliinnychdys-
cyplin)zainteresowałosięzjawiskiem,któreobecnienazywamychaosem.
Nieliniowośćjestistotnymwarunkiempojawieniasięchaosu—jeślirównaniaru-
chuukładusąliniowe,toniemożeonbyćchaotyczny.Jednaknieliniowośćbynajmniej
niegwarantujechaosu.Naprzykładrównanie(12.3)dlawahadłamatematycznegojest
nieliniowe,alenawetprzydużejamplitudziedrgań(gdyprzybliżenieliniowezpew-
nościąjestniedobre)niewykazujezachowaniachaotycznego.Gdyjednakdodamysiłę
oporu1bU11bL˙
0orazsiłęwymuszającąF(t),wówczaszamiast(12.3)otrzymamy
równanietłumionegowahadłazwymuszeniem:
mL2¨
011mgLsin01bL2˙
0+LF(t)7
(12.5)
któregorozwiązaniawykazująwłaściwościchaotycznedlapewnychwartościparame-
trów.Mówiącniezbytprecyzyjnie,nato,abypojawiłsięchaos,równaniaruchumuszą
byćnielinioweiwystarczającoskomplikowane.Równanie(12.3)niejestwystarczająco
skomplikowane,alerównanie(12.5)dlatłumionegowahadłazwymuszeniemjużjest
odpowiednioskomplikowane.Niestety,dokładniejszewyjaśnienie,któreukładysą„wy-
starczającoskomplikowane”,abydawałychaos,wykraczadalekopozaramytejksiążki4.
Innymdośćprostymprzykłademukładunieliniowegowykazującegozachowanie
chaotycznejestwahadłopodwójne,omawianewpodrozdziale11.4.Wprzybliżeniu
małychwychyleńzpołożeniarównowagirównaniaruchudlawahadłapodwójnegosą
równaniamiliniowymidladwóchkątów01i02[równania(11.41)i(11.42)],jednak
wogólnymprzypadkurównaniaruchusąnieliniowe(zadanie11.15)isąwystarczają-
3Pierwszerozwiązanietegotypu,dlazagadnieniakonwekcjiwatmosferze,uzyskałmeteorologEdward
LorenzzMITw1963roku,jednakprzeznastępnedziesięćlatjegopracaniewzbudziławiększegozainte-
resowania.Czytelnikowizainteresowanemuhistoriąteoriichaosupolecamobszerną,alebardzoprzystępnie
napisanąksiążkęJamesaGleickaChaos,MakingaNewScience,Viking-Penguin,NowyJork1987.
4Abyjednaksformułowaćpewnekryterium,zwróćmynajpierwuwagę,żeukładrównańróżniczko-
wychdrugiegorzędudlanzmiennychmożnazwyklezapisaćjakoukładrównańpierwszegorzędudlaN
zmiennych,Ę17...7ĘN,gdzieN>n,opostaciogólnej˙
Ęi1fi(Ę17...7ĘN),gdziei117...7N.Jeśli
naprzykładnapiszemy˙
01ω,tojednorównanie(12.3)dlakątawychylenia0wahadłamatematycznego
będziemymoglizastąpićdwomarównaniamidla0iω,tzn.˙
01ωi˙
ω11(g/L)sin0.Jeśliprawestrony
tychrównańniezależąodt(jakwtymprzykładzie),totakiukładnazywamyautonomicznym.Nato,aby
układdyssypatywnywykazywałzachowaniechaotyczne,jegorównaniaruchu,zapisanewtejstandardowej,
autonomicznejpostaci,musząbyćnielinioweizawieraćN>3zmiennych.Dlaukładówbezdyssypacji
koniecznajestnieliniowośćiN>4.
