Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8120Mechanikanieliniowaichaos
takżejestrozwiązaniem(12.6);tostwierdzenianazywasięzasadąsuperpozycji.Łatwo
jednakzrozumieć,dlaczegożadnezpowyższychstwierdzeńniejestsłuszne,gdyrówna-
niejestnieliniowe.[Czytelnikpowiniensięupewnić,iżrzeczywiścierozumie,dlaczego
takjest.Cobybyło,gdybynaprzykładostatniczłonwrównaniu(12.6)miałpostać
r(t)√x(t)?Patrzzadanie12.3].Ztegopowoduwprzypadkurównańnieliniowychzasa-
dasuperpozycjinieobowiązuje.
Zzasadysuperpozycjiwynikaważnywniosek,zktóregowielokrotniekorzystali-
śmy:abyznaleźćwszystkierozwiązaniarównania(12.6),wystarczywyznaczyćjedynie
dwaniezależnerozwiązaniax1(t)ix2(t);wówczaskażderozwiązaniemożnazapisać
jakoliniowąkombinacjęx1(t)ix2(t).Mówiącbardziejogólnie,abyznaleźćwszystkie
rozwiązanialiniowegojednorodnegorównaniaróżniczkowegorzędun,wystarczyje-
dynieznaleźćnniezależnychrozwiązań,awówczaskażderozwiązaniemożnazapisać
jakoliniowąkombinacjętychnrozwiązań.Ponieważwprzypadkurównańnieliniowych
zasadasuperpozycjinieobowiązuje,więcgdymamydoczynieniaztakimirównaniami,
niepowinniśmyoczekiwaćrówniedużychuproszczeń.
Jaksięprzekonaliśmywrozdziale5,podobnasytuacjawystępujewprzypadkurów-
nańniejednorodnych,takichjakrównania(12.2)i(12.5).Jeślixs(t)jestdowolnym
szczególnymrozwiązaniemliniowegorównanianiejednorodnegon-tegorzędu,todo-
wolnerozwiązanietegorównaniamożnaprzedstawićjakosumęxs(t)iliniowejkombi-
nacjinniezależnychrozwiązańodpowiedniegorównaniajednorodnego.Wprzypadku
równańnieliniowychnieistniejeżadenodpowiedniktegotwierdzenia(zadanie12.4).
Inaczejmówiąc,każderozwiązaniedowolnegorównanialiniowegon-tegorzędu(jedno-
rodnegolubniejednorodnego)możebyćwyrażonewprostysposóbprzeznrozwiązań
niezależnych,natomiastwprzypadkurównańnieliniowychniemażadnegoodpowied-
nikatakiegoprostegowyrażenia.
Potychogólnychuwagachnatematrównańnieliniowychzajmijmysięrównaniem,
którepoddamyszczegółowejanalizie,czylirównaniem(12.5)dlatłumionegowahadła
zwymuszeniem.Najpierwopiszękilkawłaściwościruchutegowahadła,którezgadza-
jąsięznaszymioczekiwaniami(lubprzynajmniejniesącałkowicienieoczekiwane),
anastępnieprzejdędozaskakującychwłaściwościchaotycznegoruchuwahadła.
12020Tłumionewahadłozwymuszeniem
Równanieruchutłumionegowahadłazwymuszeniem(wskrócieTWW)podałem
jużwcześniejjakorównanie(12.5).Ponieważtorównaniebędzieprzedmiotemnaszego
zainteresowaniawkilkunastępnychpodrozdziałach,chciałbymsięupewnić,żeCzytel-
nikdobrzewie,skądtorównaniesięwzięło,aprzyokazjizapisaćjewdogodnejpostaci.
Schematycznyobrazwahadłajestprzedstawionynarysunku12.1.Równanieruchuma
postaćI¨
01Ŵ,gdzieIjestmomentembezwładności,aŴjestcałkowitymmomentem
siływzględempunktuzaczepieniawahadła.WtymprzypadkuI1mL2,acałkowity
momentsiłyzawieraprzyczynkiodtrzechsiłpokazanychnarysunku12.1.Siłaopo-
rumawartośćbU,ajejwkładdomomentusiłyjestrówny1LbU11bL2˙
0.Moment
siłyciężkościjestrówny1mgLsin0,amomentsiływymuszającejjestrównyLF(t).
