Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
możliwestanypodstawowychczynnikówryzykaopisywanychprzezzmiennąmiesza-
jącąQ.Niechg
ioznaczaprawdopodobieństwo,żeQprzyjmiewartośćq
i,czyli:
Pr(Q=q
i)=g
i.
Jeśliponadtoprzyjmiemy,żezmiennalosowaQmawłasnośćE(Q)=1(oznaczato,
żeintensywnośćwystępowaniaszkódwpewnymokresiepowinnabyćnaoczekiwanym
poziomie),tozachodziwzór:
∑q
ig
i=1,
adystrybuantazmiennejlosowejKmapostać:
F(k)=∑
isk
FIq
i(k)g
i.
(1.16)
Przykład1.3.Badanązmiennąjestliczbazalanychdomostwwlipcuzpowodu
powodzi.ZmiennątęmożnamodelowaćzapomocąmieszanegorozkładuPoissona
zwartościąoczekiwanąobliczonąnapodstawiedługiegookresu,równąI.Podsta-
wowymczynnikiemryzykajesttutajpogoda.Warunkipogodowewlipcuopisuje
pewnazmiennamieszającaQ,któranapodstawiedanychempirycznychmarozkład
zestawionywtabeli1.2.
Tabela1.2.ZmiennalosowamieszającaQ
∑
1
2
3
4
5
i
Bardzosucho
Sucho
Normalnie
Mokro
Bardzomokro
Typpogody
–
0,8
0,7
0,5
3
q
2
–
i
0,04
0,15
0,45
0,20
0,16
1,0
g
i
0,12
0,30
0,36
0,14
0,08
1,0
q
ig
i
Źródło:daneumowne.
Abyuwzględnićzmianypogodowe,wartośćprzeciętnąInależypomnożyćprzez
odpowiedniewartościzmiennejmieszającejQ,któratezmianypogodoweopisuje,
anastępnieodczytaćwartościztablicrozkładuPoissona.
Wzagadnieniachpraktycznychistotnymproblememjestznalezieniepostaci
dystrybuantyrozkładuzmiennejmieszającejQ.Wpraktyceaktuarialnejprzyjmuje
sięczęstojakopostaćanalitycznądystrybuantyzmiennejmieszającejQ,dystrybuantę
rozkładugammaopartąopostaćfunkcjigamma.
Funkcjagęstościrozkładugammaokreślonajestwzorem:
g(q)=
Γ(r)
ar
eaqqr−1,
(q>0),
(1.17)
gdziewystępujądwaparametry:r>0ia>0orazfunkcjagamma:
23
