Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
znajdujezastosowaniewprzypadkutakiegotypuryzyka,lubcałegoportfela,dla
którychintensywnośćwystępowaniaszkódjeststałaiwtedyprawdopodobieństwo
wystąpieniakszkódnaodcinkuczasuodługościtwyrażasięwzorem:
p
k(t)=Pr[K(t)=k]=
e−It(It)k
k!
,
(1.11)
gdziek=0,1,2,...orazI>0.
DlatakiegoprocesuPoissonawartośćoczekiwanaiwariancjaliczbyszkódsą
równe,tzn.
E[K(t)]=Var[K(t)]=It,
(1.12)
czyliprzystałejintensywnościsąproporcjonalnedodługościodcinkaczasu.
Jednakwpraktycebardzoczęstowarunekjednorodnościprocesujestniespeł-
niony,szczególniedlaryzykaocharakterzeprzyrodniczym,fundamentalnym,aprze-
dewszystkimkatastrofalnym,któregorealizacjitowarzyszązmianywotoczeniu.Jeśli
charaktertychzmianmożnaokreślićzapomocąpewnejfunkcjiintensywnościozna-
czonejΛ(t),towzórnaprawdopodobieństwowystąpieniaodpowiedniejliczbyszkód
przyjmujepostać:
p
k(t)=Pr[K(t)=k]=
e−Λ(t)[Λ(t)]k
k!
,
awartośćoczekiwanaiwariancjasąfunkcjąintensywnościzależnąodt:
E[K(t)]=Var[K(t)]=Λ(t).
(1.13)
(1.14)
Wprzypadkuryzykakatastrofalnegoczęstonawetitenwarunekofunkcjiin-
tensywnościzależnejodtniejestspełniony.Uwzględnićtutajtrzebafakt,żezmiany
intensywnościszkódmającharakterlosowyinależywprowadzićzmiennąlosową
mieszającąQ(Q>0),odktórejuzależnionajestzmiennalosowaK,któraostatecznie
będziemiałamieszanyrozkładPoissona.
ProblemsprowadzasiędoznalezieniarozkładuzmiennejlosowejQ,cownie-
którychprzypadkachjestmożliweprzywykorzystaniudanychmeteorologicznych,
hydrologicznych,sejsmicznychiinnych.
JeślidystrybuantęzmiennejlosowejQoznaczymyprzezG,czyli:
G(q)=Pr(Qsq),
toprawdopodobieństwap
kdlazmiennejlosowejKoznaczającejliczbęszkód,która
mamieszanyrozkładPoissona,wyznaczasięzapomocąwartościoczekiwanejpraw-
dopodobieństwwarunkowychznastępującegowzoru:
p
k=E[p
k(IQ)]=
0
∞
∫
e−Iq
(Iq)k
k!
dG(q).
(1.15)
Wzórtenmaprostąinterpretację.Prawdopodobieństwowzględemmieszanegoroz-
kładuPoissonaobliczasięjakośrednieważone,uwzględniającprzytymwszystkie
22
