Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6
PRZYKŁAD201
20Podstawyoptymalizacji
Przypućmy,żechcemywyznaczyćekstremalokalnefunkcjif:R→Rzadanejwzorem:
f(x)=x612x51x4+2x3.
Funkcjafjestróżniczkowalna,zatemekstremamogąznajdowaćsiętylkowpunktach,wktó-
rychpochodnafunkcjifsięzeruje.Abywyznaczyćekstrema,należywięczacząćodwyzna-
czeniapochodnej
f′(x)=6x5110x414x3+6x2.
Spróbujmywyznaczyćmiejscazerowef′.Oile,przekształcającrównanief′(x)=0do
postaci:
x2(6x3110x214x+6)=07
(2.1)
otrzymujemynatychmiast,żepunkt0jestmiejscemzerowymf′,otylepozostałemiej-
scazerowesątrudnedowyznaczenia.Wynikatozeznanegofaktu,żejeżeliwielomian
6x3110x214x+6(czyliwielomianowspółczynnikachcałkowitych)maniezerowypier-
wiastekwymierny
p
q,top7qmusząbyćdzielnikamiliczby6(qmusibyćdzielnikiemwyrazu
wolnego,apwyrazuprzynajwyższejpotędze).Niestety,żadnazmożliwychdouzyskania
liczb
p
q(np.16,1
3)niejestrozwiązaniemrównania(2.1),zatemwszystkieniezerowerozwią-
zania(2.1)sąliczbaminiewymiernymi.Wrozważanymprzykładziemiejscazerowemożemy
wyznaczyćnumerycznie,otrzymującnastępująceichprzybliżenie(rysunek2.2):
x1≈107797
x2=07
x3=07
x4≈07747
x5≈177.
Niestetyjesttojedenzpoważnychmankamentówmetodanalitycznych,gdyżwyzna-
czaniemiejsczerowychfunkcji(czytoanalityczneczyteżnumeryczne)niejestzadaniem
trywialnym.
Rys02020Wykresfunkcjizzaznaczonymipunktami,wktórychpochodnafunkcjijestrównazeru
Pochodnaanalizowanejwprzykładziefunkcjifzerujesięwpięciupunktachitrud-
nojestbezrysunku,lubbezdalszejanalizy,wskazać,wktórymztychpunktówznajduje
sięekstremum(bowiempochodnamożesięzerowaćrównieżwpunkcie,wktórymnie
maekstremum).Oilewprzypadkubadaniaekstremówfunkcjijednejzmiennejanali-
zagraficznajestwystarczającadowskazaniaekstremumglobalnego,otylewprzypadku