Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2010Analitycznemetodywyznaczaniaekstremów
7
funkcjiwieluzmiennychniejesttozazwyczajmożliweikoniecznejestprzeprowadzenie
dodatkowychobliczeń.Jedenzmożliwychwarunkówwystarczającychnaistnienieeks-
tremumfunkcjijednejzmiennejpodajetwierdzenie2.2,natomiastodpowiedniwarunek
dlafunkcjiwieluzmiennychtwierdzenie2.4.
TWIERDZENIE202
Załóżmy,żef:(a7b)→Rjestciągła,x∗∈(a7b),orazżefjestróżniczkowalna
w(a7x∗)∪(x∗7b)(wszczególnocimożeniebyćróżniczkowalnawx∗).Jeżeli
spełnionesąnastępującewarunki:
f′(x)<0
f′(x)>0
dlax∈(a7x∗)7
dlax∈(x∗7b)7
(2.2)
(2.3)
tofunkcjafosiągawpunkciex∗minimumlokalne.Jeżeliznakinierównoci
w(2.2)i(2.3)sąprzeciwne,tofunkcjafosiągawpunkciex∗maksimumlokalne.
Gdymamydoczynieniazfunkcjąwieluzmiennychf:Rn→R,warunkipozwa-
lającewyznaczyćjejekstremasązbliżone.Mówimy,żefmaekstremumlokalnewX∗,
gdyistniejeh0>0otejwłasnoci,żedladowolnego||h||2≤h0zachodziwarunek2:
f(X∗)≤f(X∗+h)(minimum)
lub
f(X∗)≥f(X∗+h)(maksimum).
(2.4)
(2.5)
Gdyn=1,definicjataredukujesiędodefinicjiekstremumdlafunkcjijednejzmiennej.
Abypodaćwarunkipozwalająceweryfikować,czywdanympunkcieznajdujesię
ekstremumlokalnefunkcjiwieluzmiennych,przypomnijmynajpierwpojęciegradientu
funkcji.
Definicja201
Gradientfunkcjiwieluzmiennychf:Rn→RwpunkcieX=(x17x27...7xn)
jestwektorem,któregoskładowymisąpochodnefunkcjifwzględemkażdejze
zmiennychxi7i=1727...7n.Jestonokrelonyrównaniem:
∇f(X)=[
∂f(X)
∂x1
∂f(X)
∂x2
...
∂f(X)
∂xn]
T
.
(2.6)
2Symbolem||·||2oznaczamynormęeuklidesową.Więcejinformacji,wtymdefinicjęnormyeuklide-
sowejpodanowpunkcie11.1.5.
