Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
PRZYKŁAD202
20Podstawyoptymalizacji
Obliczymygradientfunkcjif(x17x2)=x2
1+2x1x21x2.Zgodniezdefinicjąotrzymujemy
∇f(x17x2)=
[
|
L
∂x1
∂x2
∂f
∂f
]
|
J
=
[
|
L
2x1+2x2
2x111
]
|
J
.
Wpewnymsensiegradientfunkcjiwieluzmiennychfjestodpowiednikiempochod-
nejdlafunkcjijednejzmiennej,jeżelibowiemf:R→R,to∇f(x)=[f′(x)].
TWIERDZENIE203
Niechf:Rn→Rbędziefunkcjąociągłychpochodnychcząstkowych.Jeżeli
funkcjafmawX∗minimumlubmaksimumlokalne,toa
∇f(X∗)=07
czyli
∂xi
∂f
(X∗)=0
dlai=17...7n.
aSymbol0oznaczawektorzerowy,któregowszystkiewspółrzędnemająwartoć0.
Dlafunkcjiwieluzmiennychmożnatakżepodaćwarunekpozwalającysprawdzić
czywpunkcieX∗,dlaktórego∇f(X∗)=0,jestekstremumlokalne.Wtymcelumusimy
sięodwołaćdodefinicjihesjanu.
Definicja202
Hesjanem(macierząHessego)funkcjif:Rn→RwpunkcieX=(x17x27...7xn)
nazywamymacierzdrugichpochodnychcząstkowych(jeżeliistnieją)funkcjifw
punkcieXioznaczamyH(X),czyli
H(X)=
[
|
|
|
∂x1∂x1
∂2f
.
.
(X)...
∂x1∂xn
∂2f
.
.
.
(X)
]
|
|
|
.
.
...
L
∂xn∂x1
∂2f
(X)...
∂xn∂xn
∂2f
(X)
J
(2.7)
Przypominamy,żepochodnącząstkowąrzędudrugiegowzględemtejsamej
zmiennej
∂xi∂xi
∂2f
zapisujesięskrótowo
∂2f
∂x2
i
.
