Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1WYKAZUJEMYPROSTETOŻSAMOŚCI
13
wyrażenie(A\C)∪[···]:
(A\B)∪(B\C)=(AΠB′)∪(BΠC′)=[A∪(BΠC′)]Π[B′∪(BΠC′)]
=[(A∪B)Π(A∪C′)]Π[(B′∪B)Π(B′∪C′)]j
(1.1.5)
gdziedwukrotniezostałowykorzystaneprawo(1.1.3).Jakwiadomo,operacja
polegającanawzięciuczęściwspólnejzbiorówjestłączna:
(RΠS)ΠT=RΠ(SΠT).
(1.1.6)
Oznaczato,żewotrzymanympowyżejwyrażeniumożnapominąćwszystkie
nawiasyprostokątne,bojakbyśmyichniewstawili,otrzymamyzawszeten
samwynik.Zauważmyponadto,żepojawiłosiępowyżejwyrażenie(B′∪B),
czylisumazbioruijegodopełnienia.Takasumato,naturalnie,całaprze-
strzeńX,bokażdyelementprzestrzeninależyalbodoB,albodoB′.Można
więczamiastprawejstrony(1.1.5)napisać:
(A∪B)Π(A∪C′)ΠXΠ(B′∪C′)j
(1.1.7)
poczymwogóleopuścićX,bowiemdlakażdegozbioruSmamySΠX=S.
Wefekcieotrzymujemy:
(A\B)∪(B\C)=(A∪B)Π(A∪C′)Π(B′∪C′).
(1.1.8)
ChcieliśmypoprawejstronieotrzymaćwyrażenieA\C,czyliAΠC′,
aleniczegotakiegonarazieniema.MamycoprawdaA∪C′,aletozupeł-
niecoinnego.Otóżbardzoczęstoprzyprzekształceniachróżnychwyrażeń,
gdywiemy,conakońcuchcemyuzyskać,oczekiwanewyrażenienwstawiamy
ręcznie”,oczywiściewtakisposób,abynienaruszyćrówności(np.dodając
iodejmująctosamo).Wnaszymprzypadkuwykorzystamypoprostunastę-
pującątożsamość:
A=AΠX=AΠ(C′∪C)=(AΠC′)
∪(AΠC)j
111111
(1.1.9)
wktórejpodkreślonezostałointeresującenaswyrażenie.Wstawimyjąwmiej-
sceAdopierwszegonawiasuw(1.1.8),poprawejstronie.Otrzymujemyzwią-
zek:
(A\B)∪(B\C)=[(AΠC′)∪
{(AΠC)∪B}]Π
{(A∪C′)Π(B′∪C′)}.(1.1.10)
↑
↑
Sumateoriomnogościowaorazprzecięciesąłączne,więcmieliśmyprawobez-
karniedopisaćnawiasyklamrowe,którychniebyłow(1.1.8).Zastosujemy
