Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
1BADAMYZBIORYIRELACJE
terazprawo(1.1.3)wodniesieniudosumyiczęściwspólnejzaznaczonych
wostatnimwzorzestrzałkami.Wwynikutegouzyskamy:
(A\B)∪(B\C)=[(AΠC′)Π(A∪C′)Π(B′∪C′)]
(1.1.11)
∪[{(AΠC)∪B}Π(A∪C′)Π(B′∪C′)]j
poopuszczeniunawiasówklamrowychtam,gdzieniebyłyjużpotrzebne.
Otrzymanewyrażeniemapostaćsumydwóchzbiorów,zktórychkażdyujęty
jestwprostokątnenawiasy.Pokażemyponiżej,żepierwszyznichrównyjest
poprostuAΠC′,adrugiwówczasjestnieistotny(czylijesttym,cowewzorze
(1.1.4)oznaczyliśmy[···]).
ZbiórAΠC′jestoczywiściepodzbioremzbioruA∪C′,więc
[(AΠC′)Π(A∪C′)]Π(B′∪C′)=(AΠC′)Π(B′∪C′).
(1.1.12)
ZachodzitakżeAΠC′⊂C′⊂B′∪C′,zatem
(AΠC′)Π(B′∪C′)=AΠC′=A\C.
(1.1.13)
Wefekcierównaniu(1.1.11)możnawięcnadaćpostać:
(A\B)∪(B\C)=[A\C]∪[···]⊃A\C.
Jakwidzimy,tezazostaławykazana.
Nakoniecwartododać,żetegotypudowodymożnałatwoiwzględnie
prostoprzeprowadzać,posługującsięprawamilogiki.Wtymceluwypiszemy
tabelkęwartościlogicznych,uwzględniającwszystkiemożliwewartościdla
trzechzdań:x∈A,x∈Borazx∈C(wbieżącymzadaniumamy8możliwo-
ści,alełatwosobiewyobrazić,żeprzybardziejrozbudowanychwyrażeniach,
zwiększąliczbązbiorów,tabelkabardzosięrozrośnie).Abywykazać(1.1.1),
musimywniejtakżezawrzećzdania:x∈A\C,x∈A\B,x∈B\Coraz
x∈A\B∪B\C,aichwartościlogicznewynikająjużzwartościtrzech
pierwszychzdańorazzdefinicjioperacjiteoriomnogościowychn\”orazn∪”.
Jakzwyklesymboln1”oznaczanprawda”,asymboln0”–nfałsz”.
