Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
1BADAMYZBIORYIRELACJE
Tożsamośća)
Wyjdziemyodlewejstronyrównania(1.1.16)ibędziemyjąprzekształcać,
wykorzystując(1.1.2)oraz(1.1.3).Przydadząnamsiętakżewłasnościłącz-
nościiprzemiennościdlasumyiprzecięcia:
R∪(S∪T)=(R∪S)∪Tj
R∪S=S∪Rj
RΠ(SΠT)=(RΠS)ΠTj
RΠS=SΠRj
orazprawadeMorgana:
(SΠR)′=S′∪R′j
(S∪R)′=S′ΠR′.
(1.1.19)
(1.1.20)
(1.1.21)
(1.1.22)
Jakpamiętamyzpoprzedniegoprzykładu,symbolS′oznaczadopełnienie
zbioruSdoprzestrzeniX:S′=X\S.Wiemyteż,żewyrażenieS\R
zapisaćmożnajakoSΠR′.Mamywięc:
A÷(B÷C)={AΠ[(BΠC′)∪(B′ΠC)]′}∪{A′Π[(BΠC′)∪(B′ΠC)]}.(1.1.23)
Ideadowodupolegaćbędzienarozwinięciuprawejstronypowyższejrów-
nościiodpowiednimpogrupowaniuwyrazów.Najpierwprzekształcimypierw-
szewyrażeniewnawiasachklamrowych,wykorzystująckilkakrotnieprawa
deMorgana:
AΠ[(BΠC′)∪(B′ΠC)]′=AΠ[(BΠC′)′Π(B′ΠC)′]
(1.1.24)
=AΠ[(B′∪C)Π(B∪C′)]=AΠ(B′∪C)Π(B∪C′).
Nawiasyprostokątnemożnabyłoopuścićzewzględunawłasnośćłączności
dlaczęściwspólnej.Rozwijająctowyrażeniedalej,tymrazemprzyuży-
ciu(1.1.2),otrzymujemy:
AΠ(B′∪C)Π(B∪C′)=[(AΠB′)∪(AΠC)]Π(B∪C′)
(1.1.25)
=(AΠB′ΠB)
\
\f
/
∪(AΠB′ΠC′)∪(AΠCΠB)∪(AΠCΠC′)
\
\f
/
.
∅
∅
Jakwidzimy,pojawiłysiępowyżejdwazbiorypustejakowynikprzecięcia
danegozbioruzjegodopełnieniem:BΠB′=CΠC′=∅.Oczywistejest,
żeczęśćwspólnazbiorupustegozjakimkolwiekinnymzbioremtakżejest
zbiorempustym,azbiór∅wteoriomnogościowejsumiemożnawogólepo-
minąć(bondodawaniezera”nicniezmienia).Wefekciemamy:
AΠ[(BΠC′)∪(B′ΠC)]′=(AΠB′ΠC′)∪(AΠCΠB).
(1.1.26)
Wróćmyterazdodrugiegowyrażeniawnawiasachklamrowychwfor-
mule(1.1.23).Rozwiniemyje,korzystającnajpierwzrozdzielnościprzecięcia
