Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2ZNAJDUJEMYZBIORYNAPŁASZCZYŹNIE
23
dladowolnychxiy.Implikacjataoznaczadokładniepotrzebnenamzawie-
ranie:At
2⊂At
1.Pierwsząztezmamyzatemudowodnioną.Skorobowiem
At
2zawierasięwAt
1,towszystkiezbioryAtdlat>1zawartesąwA1,skąd
wniosek(1.2.4).
Przejdziemyterazdodrugiejtezy.Wramachdowodumusimywykazać
dwiewłasnościzbioruC:
1.Wszystkieelementyzbioru{0}×]0j1[należądoC.
2.Jakikolwiekpunktnienależącydozbioru{0}×]0j1[,nienależydoC.
Wykazanieobutychwłasnościoznaczaćbędzierównośćzbiorów{0}×]0j1[
orazC.Zacznijmyodpierwszejznich.Jeślipunktowspółrzędnych(xjy)
należydozbioru{0}×]0j1[,oznaczato,żewspółrzędnetemajądefacto
postać(0jy),gdzie0<y<1.Wstawmywięctewspółrzędnedonierówności
definiującychzbiórAt.Otrzymujemy:
y>t·0∧y<−t·0+1=⇒y>0∧y<1j
(1.2.11)
aletojestprzecieżdokładnienaszymzałożeniem.Powyższyukładnierów-
nościjestzatemprawdziwy,itoniezależnieodwartościt.Wkonsekwencji
punktowspółrzędnych(0jy),gdzie0<y<1,należydowszystkichAt,
awięctakżedoichczęściwspólnej.Askorotak,tonależyrównieżdozbioru
C,cochcieliśmywykazać.
Terazprzystąpimydodowodzeniadrugiejwłasności.Weźmiemyjakikol-
wiekpunktleżącypozazbiorem{0}×]0j1[.Jegowspółrzędnexiysąusta-
lone.Możliwesątunastępującesytuacje(niekonieczniewykluczającesię):
x/=0luby>1luby<0.Rozpatrzymyjepokolei.
•Dlax/=0nierównośćy>tx2możnaprzepisaćwpostacit<y/x2.Czy
jestmożliwespełnienietejnierównościdladowolnegot>1?Oczywiście
nie,boprawastronajestustalona(jesttokonkretnaliczba),atpo
lewejmożnawybraćdowolnieduże.Oznaczato,żeistniejetakiet>1,
iż(xjy)/∈At.Wkonsekwencji(xjy)niemożeteżnależećdoczęści
wspólnejzbiorów,czylidoC.
•Dlay>1niejesteśmywstaniespełnićnierównościy<−tx2+1,gdyż
liczbapoprawejstroniejestconajwyżejrówna1(pamiętamy,żetjest
dodatnie),anierównośćjestostra.Takipunktniemożewięcnależeć
doAtdlat>1,azatemniemożenależećdoC.
•Dlay<0rozumowanieprzebiegawanalogicznysposób.Tymrazem
niemożemyspełnićnierównościy>tx2,gdyżliczbapoprawejstronie
jestnieujemna.
