Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Wprowadzenie
1.3.
Paradokswyprzedzania
19
Modelematematycznestrumienizdarzeńpozwalająformalniewyjaśnićwiele
paradoksów,równieżiten,przypominającynamznaneprawaMurphy'ego,żedruga
(równoległa)kolejkaposuwasięszybciejaniżelikolejka,wktórejmysięznajdujemy.
Paradokstenzostanieprzedstawionywskrótowysposóbzadwutomową
monografiąFellera[24],[25].Przyjmijmy,żeNowakiKowalskiustawilisię
równocześniewdwóchniezależnych,równoległychkolejkach(onieograniczonej
długości),zktórychwdanejchwiliczasutylkojednamożeprzesunąćsiędo
przodu.Nowakznudzonyoczekiwaniemzajmujesięrejestracjąswojegopołożenia
względempołożeniaKowalskiego.
Nowakzapisujeruchswojejkolejkijako„+ł”,natomiastkolejkiKowalskiego
jako„–ł”.Ruchykolejekmożnawięctraktowaćjakonieograniczonyciągprób
Bernoulliego{–ł,–ł,+ł,–ł,
...,},wktórymsukcesemjestruchkolejki
obserwatora,aporażkąruchkolejkijegopartnera.Ponieważobydwiekolejki
zachowująsięidentycznie,przyjmujemy,żePr{–ł}=Pr{+ł}=
ł
/
2
.
Nowakawi-tejchwiliczasu,towartośćwyrażeniaw
Jeżeliprzezx
i
=Sł,i=ł,2,...oznaczymyumowneprzesunięciekolejki
k
=?
k
i=ł
x
i
będziewyznaczać
położenieNowakawzględemKowalskiegowk-tejchwiliczasu.Nowakwyprzedzi
Kowalskiegowk-tejchwiliczasu,gdyw
k
=ł.Zauważmy,żesytuacjatakamoże
wystąpićwyłączniewnieparzystychchwilachczasuk=ł,3,5,...,awięcgdy
k=2n–ł.
Feller[25]dowodzi
*
,żeprawdopodobieństwopierwszegowyprzedzenia
jestdanezależnością:
Pr{w
2n–1
=1}=
2n–1
1
⎛
⎝
2n–1
n
⎞
⎠2
–(2n–1)
,n=1,2,3,...
Ponieważ:
|
?
Pr{w
2n–ł
=ł}=ł,
n=ł
toNowakwyprzedzikiedyśKowalskiegonapewno,pytaniemjesttylko,jakdługo
należyoczekiwaćnatowydarzenie.
Średniczaswyprzedzaniajestdanywyrażeniem:
D=
n=ł
?
|
(2n–ł)Pr{w
2n–ł
=ł}=
n=ł
?
|
⎛
⎝
2n–ł
n
⎞
⎠2
–(2n–ł)
Niestety,pozastosowaniukryteriumRaabego[64]dozbadaniazbieżności
powyższegoszereguliczbowegostwierdzamy,żeśredniczasoczekiwaniana
wyprzedzeniejestnieskończony...
*
Dowódformalnypoleganazastosowaniumetodyfunkcjitworzącychdoczasupierwszego
przejściawsymetrycznym,nieograniczonymbłądzeniuprzypadkowym.Dowódkombinatorycznykorzysta
natomiastztwierdzeniaBertrandaogłosowaniu[24],[62].
