Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.Pojęciezbioruklasycznego
31
poprzezzamianęoperacji∩iUorazzbiorów∅iX.Godnepodkreśleniajest,że
zbiory∅iXsąelementamineutralnymiodpowiedniodlaoperacjisumyiiloczynu.
FunkcjacharakterystycznadowolnegozbioruAmożebyćzapisanajako
χA:X→{0,1},
(2.10)
przyczymfunkcjataprzyjmujewartość1dlaobiektównależącychdozbioruA
iwartość0wprzeciwnymprzypadku,czyli
χA(x)=1,x∈A,
0,x/
∈A.
(2.11)
ZbiórwszystkichfunkcjicharakterystycznychnaprzestrzeniXoznaczamy
jakoC(X)idefiniujemyjako
C(X)g{χ|χ:X→{0,1}}.
(2.12)
MnogośćC(X)tworzyalgebręBoole’azewzględunanastępująceoperacje:
χA(x)∧χB(x)=min[χA(x),χB(x)],
χA(x)∨χB(x)=max[χA(x),χB(x)],
χA(x)=1−χA(x),
(2.13)
(2.14)
(2.15)
gdzieχA,χB∈C(X).
Możnaudowodnić,żestruktury(P(X),∩,U,
)i(C(X),∧,∨,
)są
izomorficznejakoalgebryBoole’a.Oznaczatomożliwośćwprowadzeniaodwzo-
rowaniḁelementówmnogościP(X)naelementymnogościC(X).Stąd,̥:
P(X)→C(X)lubwinnymzapisie̥(A)=χAdlakażdegozbioruA⊆X.
Odwzorowanietomanastępującewłasności:
1)
2)
3)
̥(A∩B)=̥(A)∧̥(B),
̥(AUB)=̥(A)∨̥(B),
̥(A)=1−̥(A).
Występowanietegoizomorfizmuoznacza,żezbiorymogąbyćrównoważnie
opisywaneprzezobliczeniejegoelementówlubpodaniefunkcjicharakterystycz-
nej.
−→PRZYKŁAD2.1.Zbiórliczbrzeczywistychwiększychniż4.5ijednocześnie
mniejszychniż5.5oznaczonyprzezAmożemyzapisaćjako
A={x∈R|x∈(4.5,5.5)}
lubzapisaćjegofunkcjęcharakterystyczną
χA(x)=1,x∈(4.5,5.5),
0,wprzeciwnymprzypadku.
(2.16)
(2.17)
