Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
CzesławDomański
JeżeliT
(
X
)
jeststatystykątestu9tofunkcjęmocymożnazapisaćjako
β
(
θ
)
=P
θ
(
T
(
X
)
∈W
*
),
gdzieW
*jestobszaremkrytycznymokreślonymwzbio-
rzewartościstatystykitestowejT
(
X
),
równoważnymzobszaremkrytycznym
WdlawartościpróbyX.
Wprzypadkunieciągłychrozkładówstatystykitestowejmożebyćniemożli-
wewyznaczenieobszarukrytycznegowtakisposób9abytestmiałdokładnieroz-
miar
α
.Wtakichsytuacjachproblemnieciągłościdystrybuantyomijasięzwyko-
rzystaniemtechnikirandomizacjitestu.
Testem
zrandomizowanym
nazywamy
każdą
funkcję
borelowską
φ
:
χ
n→
[
091
]
9gdzie
φ
(
x
)
∈
[
091
]
jestprawdopodobieństwempodjęciadecyzji
oodrzuceniuhipotezyH
09gdyzaobserwowanox.
Wprzypadkutestuzrandomizowanegojeżeli
φ
(
x
)
=19toodrzucasięH
09
jeżeli
φ
(
x
)
=09stwierdzasiębrakpodstawdoodrzuceniahipotezyH
09natomiast
jeżeli
φ
(
x
)
=
γ
9uruchamianyjestmechanizmlosowy9takiżezprawdopodobień-
stwem
γ
podejmujesiędecyzjęoodrzuceniuH
09azprawdopodobieństwem1−
γ
stwierdzasiębrakpodstawdoodrzuceniaH
0.
Dlatestuzrandomizowanego
φ
funkcjąmocytestunazywamyodwzorowanie
β
:Θ→
[
091
]
danewzorem:
β
(
θ
)
=E
θ
(
φ
(
X
)).
(1.8)
Podstawędokonstrukcjitestówjednostajnienajmocniejszychstanowilemat
Neymana-Pearsona.Określaon9któretestysątestamijednostajnienajmocniej-
szymiwprzypadku9gdyobydwiehipotezyH
0iH
1sąhipotezamiprostymi.Za-
łóżmy9żeΘ=
{
θ
09
θ
1
}
9czylirodzinarozkładówPskładasiętylkozrozkładówP
θ0
iP
θ1.RozważmyweryfikacjęhipotezyprostejH
0:
θ
=
θ
09wedługktórejrozkładem
XjestmiaraprobabilistycznaP
θ09przeciwkohipoteziealternatywnejH
1:
θ
=
θ
19
zgodniezktórąrozkłademXjestmiaraprobabilistycznaP
θ1.Załóżmy9żef
θ0if
θ1są
łącznymigęstościamiXodpowiadającymirozkładomodpowiednioP
θ0iP
θ1.
Twierdzenie1.1.LematNeymana-Pearsona(Warunekdostatecznydlaroz-
miaru).Dlakażdego
α
∈
(
091
)
istniejąk≥0oraz
γ
∈
[
091
]
9takieżetestpostaci:
(1.9)
gdziex
∈χ
n9marozmiar
α
.
