Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
12
ROZDZIAŁ1.KONSTRUKCJETEORIOGRUPOWE
g1h1h
11
2h=g1h!,gdzieh!=h1h11
2h∈H.Oznaczato,żeg2H⊂g1H.Analo-
gicznieudowadniasięzawieranieodwrotne,awięcostatecznieg1H=g2H.
Ponieważkażdyelementg∈GnależydowarstwygH,więczpowyższego
rozumowaniawynika,żeGjestsumąrozłącznąwarstwlewostronnychwzględem
podgrupyH:
G=U
i
giH.
ZgodniezogólnązasadąopisanąwczęściIrozkładtenindukujewGrelację
równoważnościa∼b⇔aH=bH;łatwosprawdzić,że
a∼b⇔a11b∈H.
Zwrotność,symetrycznośćiprzechodniośćtakokreślonejrelacjimożnazresztą
sprawdzićbezpośrednio:a∼a,gdyża11a=e∈H;a∼b⇒a11b∈H⇒
(a11b)11=b11a∈H⇒b∼a;(a∼bib∼c)⇒(a11b∈Hib11c∈H)⇒
a11bb11c=a11c∈H⇒a∼c.
Analogicznetwierdzeniezachodzidlawarstwprawostronnych.
Rozkładnawarstwypojawiasięwnaturalnysposóbwgrupachpermuta-
cji.Niechnp.G=SnbędziegrupąsymetrycznądziałającąnazbiorzeΩ=
{1j2j...jn}.ZbiórHtychelementówπ∈Sn,którespełniająrównośćπ(n)=n,
jest,jakłatwosprawdzić,podgrupąwSn,którąmożnautożsamićzSn11.Niech
To=e,Ti=(źn)(transpozycjaprzeprowadzającaźnan,ź=1j2j...jn−1).
Łatwosprawdzić,żerozkładySnnawarstwywzględemSn11sąnastępujące:
Sn=
n11
k=o
U
TkSn11j
Sn=
n11
k=o
U
Sn11Tk.
RozpatrzmywszczególnościrozkładyS3nawarstwylewostronneiprawostronne
względempodgrupy((12)>=S2:
S3={ej(12)}∪{(13)j(123)}∪{(23)j(132)}j
S3={ej(12)}∪{(13)j(132)}∪{(23)j(123)}.
Widać,żezbiórwarstwlewostronnychgS2niepokrywasięzezbioremwarstwpra-
wostronnychS2g!,zatempodgrupaS2niejestnormalnawS3.Pomiędzyzbiorami
warstw{gH}i{Hg!}(wdowolnejgrupie)istniejejednakzawszeodpowiedniość
wzajemniejednoznaczna,mianowiciegH↔Hg11.Istotnie,jeślinp.h1g11
h2g
2
11
,tog1=g2h
11
2h1ig1H=g2H.Wszczególności,jeśli{ejxjgjzj...}jest
1
=
zbioremreprezentantówwarstwlewostronnych(lubprawostronnych),pojednym
zkażdejwarstwy,to{ejx11jg11jz11j...}jestzbioremreprezentantówwarstw
prawostronnych(odpowiedniolewostronnych).Obatezbiorysąwięcrównoliczne.
ZbiórwarstwlewostronnychGwzględemHbędziemyoznaczaćprzezG/H.
MoczbioruG/HnazywasięindeksempodgrupyHwGioznaczaprzez(G:H);
wszczególności(G:e)torząd|G|grupyG(liczbawarstwwzględempodgrupy
