Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
18
ROZDZIAŁ1.KONSTRUKCJETEORIOGRUPOWE
Jeśliajb∈xG,topiszemya
∼b.PodgrupęstacjonarnąSt(x)nazywamy
G
wtymprzypadkucentralizatoremelementuxioznaczamyczęściejprzezC(x)
(lubCG(x)dlapodkreślenia,ojakągrupęGchodzi).
Zgodniezuwagąwkońcupunktu1działanieprzezsprzężenieprzenosisię
napodzbiory,atakżenapodgrupywG.DwapodzbioryHjT⊂Gnazywamy
sprzężonymi,jeśliT=gHg11dlapewnegog∈G.NiechHbędziepodgrupą
wG.Zbiór
N(H)=St(H)={g∈G|gHg11=H}
przyjętonazywaćnormalizatorempodgrupyHwG.WszczególnościH⊳G
(podgrupaHjestnormalnawG)wtedyitylkowtedy,gdyN(H)=G.Na
mocyrówności(1)długośćorbityHG(tj.liczbapodgrupwGsprzężonych
zH)jestrównaindeksowinormalizatoraN(H)wG.
Załóżmyteraz,żeGjestgrupąskończonąixG
1j...jxG
rsąwszystkimiklasami
elementówsprzężonych,przyczympierwszeqznichsąjednoelementowe:
xG
i={xi}
dlaź=1j...jq(x1=e).
Oznaczato,żeZ(G)={x1j...jxq},awzory(1)i(2)możnaprzepisaćwpostaci
|xG
i|=(G:C(xi))j
ź=1j...jrj
(1!)
r
|G|=|Z(G)|+
Σ
(G:C(xi)).
(2!)
i=q+1
Niechnp.G=S3.Wówczasr=3,q=1(tj.Z(S3)={e})irozkładS3
naklasyelementówsprzężonychjestnastępujący:
S3={e}∪{(12)j(13)j(23)}∪{(123)j(132)}.
Liczbyelementówtychklas(długościorbit)dzielą6=|S3|,jakkażerów-
ność(1!).
Równość(2!)prowadzidonastępującegointeresującegofaktu:
TWIERDZENIE2.Każdap-grupaG(gruparzędupn>1,gdziepjestliczbą
pierwszą(1))manietrywialnecentrum:Z(G)/={e}.
(
1)Autorużywadlatakichgrupnazwy„skończonap-grupa”.Terminologiaprzyjętawtłu-
maczeniu,zgodniezktórąp-grupajestautomatycznieskończona,jestrozpowszechnionawlite-
raturze,apozatymwtejksiążcepojęcietowystępujewyłączniewkontekściegrupskończonych.
Niektórzyautorzy(zob.np.[14])nazywająp-grupąkażdągrupę,wktórejrząddowolnegoele-
mentujestpotęgąliczbypierwszejp.Dlagrupskończonychobapojęciasąrównoważne,co
wynikanp.ztwierdzeńSylowa(rozdz.2,§2)(przyp.tłum.).
