Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
§3.DZIAŁANIEGRUPNAZBIORACH
19
Dowód.JeśligrupaGjestabelowa,toG=Z(G)iniemaczegodowodzić.
Wprzeciwnymrazier>qoraz(G:C(xi))=pni,ni>1dlaź>q.Zrówności
(2!)przepisanejwpostaci
pn=|Z(G)|+
i=q+1
Σ
r
pni
wynika,że|Z(G)|dzielisięprzezp.
Łatwoudowodnić,żenieabelowep-grupyrzeczywiścieistnieją.Wystar-
czyrozpatrzyćnastępującągrupęmacierzygórnotrójkątnychowyrazach
zciałaZp:
P=
(
4
l
"
"
"
"
"
"
1a
0
0
1
0
c
b
1
"
"
"
"
"
"
|
|
|
|
|
|
ajbjc∈Zp
]
}
J
.
Przykład2(działanieprzezleweprzesunięcia).OdwzorowanieLa:
G→GokreślonewzoremLa(g)=ag(októrymjużbyłamowa)nazywa
sięzwyklelewym(lublewostronnym)przesunięciemoelementa.Ponieważ
eg=gi(ab)g=a(bg),więcprzesunięcialewostronnewyznaczajądziałanie
GnaG,którejakzwykleindukujedziałanienapodzbiorachgrupyG.
Niechnp.HbędziepodgrupąwG,aG/H—zbioremwarstwlewostron-
nychgH,gdzieg∈G.Odwzorowanie
(xjgH)l→x(gH)=(xg)H
definiujeoczywiściedziałanieLHgrupyGnaG/H.JądremKerLHtego
działaniajestzbiór{x∈G|xgH=gHj∀g∈G}.Inaczejmówiąc,mamy
x∈KerLH⇔(g11xg∈Hj∀g∈G)⇔(x∈gHg11j∀g∈G),czyli
KerLH=Π
g∈G
gHg11.
Jakłatwouzasadnić,jesttonajwiększapodgrupanormalnawG,zawarta
wH.EfektywnośćdziałaniaGnaG/Hjestrównoznacznaznieistnieniem
podgrupyK⊂H,K/={e},normalnejwG.
Wkażdymwypadku,dowolnapodgrupaHoindeksienwGprowadzi
doreprezentacji(LHjG/H)grupyGwgrupieS(G/H)∼
=Snpermutacji
warstwgrupyGwzględemH.Reprezentacjata(która,coprawda,możenie
byćwierna)jestdużobardziejoszczędnaniżta,którąotrzymujesięprzy
dowodzietwierdzeniaCayleya.
