Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
1.TEORIAMNOGOŚCI
Asąporównywalnewzględem<,tj.x<glubg<xdladowol-
nychx,g∈A.ZbiórAzzadanymnanimczęściowym(liniowym)
porządkiem<nazywamyzbioremczęściowo(liniowo)uporządkowa-
nym.PodzbiórBzbioruAczęściowouporządkowanegoprzez<na-
zywamyłańcuchemwA,jeślijestonliniowouporządkowanyprzez
relację<∩B2.
ElementaczęściowouporządkowanegozbioruAnazywamyele-
mentemmaksymalnym(minimalnym),jeśliztego,żea<x(x<a)
wynika,żea=x.ElementazezbioruAnazywamyelementem
największym(najmniejszym),jeślix<a(a<x)dlawszystkich
x∈A.Kresemgórnym(dolnym)podzbioruB⊆Azbioruczęścio-
wouporządkowanegoAnazywamydowolnyelementazAtaki,że
b<a(a<b)dladowolnegob∈B.Najmniejszymkresemgór-
nym(największymkresemdolnym)podzbioruB⊆Anazywamynaj-
mniejszyzkresówgórnych(największyzkresówdolnych)dlaB.
NajmniejszykresgórnyinajwiększykresdolnyzbioruB⊆Aozna-
czanesą,odpowiednio,przezsupBorazinfB.
Porządekliniowy<nazbiorzeAnazwiemydobrym,jeślikaż-
dyniepustypodzbiórzbioruAmaelementnajmniejszy.Wtakim
przypadkuzbiórAnazwiemyzbioremdobrzeuporządkowanym.
NiechAiBbędązbioramiczęściowouporządkowanymi,af
funkcjązAwB.Powiemy,żefjestodwzorowaniemmonotonicznym,
jeślizx1<x2wynikaf(x1)<f(x2)dlawszystkichx1,x2∈A.
JeślifjestwzajemniejednoznacznąodpowiedniościąmiędzyAiB
orazfif-1sąodwzorowaniamimonotonicznymi,tofnazywamy
izomorfizmemzbiorówczęściowouporządkowanychAiB,azbiory
AiBnazywamyzbioramiizomorficznymi.
ZbiórczęściowouporządkowanyMnazywamykratąlubstruktu-
rą,jeślidladowolnychdwóchelementówx,g∈Mistniejeichnaj-
większykresdolnyx∩goraznajmniejszykresgórnyxUg.Będziemy
oznaczać(...((x1∩x2)∩x3)∩...∩xk)przezx1∩x2∩x3∩...xk
a(...((x1Ux2)Ux3)U...Uxk)przezx1Ux2Ux3U...xk.Najwięk-
szyelementkraty(jeśliistnieje)oznaczamyprzez1,anajmniejszy
przezO.
