Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
1.Liczbyzespolone.Homografie
1.1.10.
Niech|zł|=|z2|=|z3|=ł.Wykazać,żenato,żebyliczbyzł,z2,z3były
wierzchołkamitrójkątarównobocznego,potrzebaiwystarcza,byzł+z2+z3=o.
1.1.11.
Niech|zk|=ł,k=ł,2,3,4.Wykazać,żenato,byliczbyzespolonezkbyły
wierzchołkamiprostokąta,potrzebaiwystarcza,byΣ
4
k=łzk=o.
1.1.12.
Wykazać,żejeślizł∗z2jestiloczynemskalarnym,azł×z2iloczynemwekto-
rowymwektorów[o,zł],[o,z2],tozłz2=zł∗z2+i·zł×z2.
1.1.13.
Dowieść,żepoletrójkątaowierzchołkachzł,z2,z3jestrówne
ł
2
im(złz2+
z2z3+z3zł),jeślikolejnościwierzchołkówzł,z2,z3odpowiadadodatniaorientacja
brzegutrójkąta.
1.1.14.
Wykazać,żepolewielokątaowierzchołkachzł,z2,...,zn(przyczympodanej
kolejnościodpowiadadodatniaorientacjabrzegu)jestrówne
ł
2
im(złz2+z2z3+...
+znzł).
1.1.15.
Znaleźćkątαpomiędzywektorami[zł,z2],[z3,z4]orazodległośćdpunktuz3
odprostejprzechodzącejprzezpunktyzłiz2.
1.1.16.
Wykazać,żegdyśrodekciężkościiśrodekkołaopisanegonatrójkąciepokrywają
się,wtedytrójkątjestrównoboczny.
1.1.17.
Określićkrzywewyznaczoneniżejpodanymifunkcjamizespolonymizmiennej
rzeczywistej(a,b,ωsątostałedodatnie;oileniepodanoinaczej,t∈(–∞,+∞)):
(i)
z=exp(a+bi)t,
(ii)
(iv)z=at+beiωt,
z=(ł+it)–ł,
(iii)z=aeit+a–łe–it,o≤t≤2π,
(v)z=a(ł–it)eit,
(vi)z=(ł+eit)2,o≤t≤2π,
(vii)z=t2+it4,o≤t<+∞,
(viii)z=t+it–ł,t>o.
1.1.18.
Jeśliz(t)=x(t)+iy(t)orazx(t),y(t)sątorzeczywiste,różniczkowalnefunkcje
zmiennejrzeczywistejt,topochodnąz,(t)określamyjakofunkcjęx,(t)+iy,(t).
Podaćgeometrycznąinterpretacjępochodnejfunkcjizespolonejzmiennejrzeczywistej.
Wykazać,że(eit),=ieit.
1.1.19.
Danajestkrzywaz(9)=r(9)ei9,gdzier(9)jestdodatniąfunkcjąróżniczko-
walnązmiennejrzeczywistej9.Znaleźćkątαpomiędzystycznąawektorem[o,z(9)].
1.1.20.
Wykazać,żejeśliz(t)=x(t)+iy(t)jestróżnąodoróżniczkowalnąfunkcją
zespolonązmiennejrzeczywistejt,to
(i)
dt
d
argz(t)=(xy,–yx,)|z(t)|–2,(ii)
dt
d
|z(t)|=(xx,+yy,)|z(t)|–ł.
1.1.21.
Podaćgeometrycznąinterpretacjęnastępującychzbiorówliczbzespolonych:
(i){z:|z–a|=|z–b|},a/=b,
(ii){z:|z+c|+|z–c|≤2a},a>o,|c|<a,
(iii){z:o<arg
z+i
z–i
<
π
4},
(iv){z:o≤reiz<ł},
