Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6
1.Liczbyzespolone.Homografie
1.1.31.
Wykazać,żegdydlapewnegoĘmamy
Σ
k=ł
n
Ę–zk
ł
=o,
wówczasĘ∈conv{zł;z2;...;zn}.
1.1.32.
UdowodnićnastępującetwierdzenieGaussa–Lucasa:
WszystkiemiejscazerowepochodnejwielomianuP(z)należądootoczkiwypukłej
miejsczerowychwielomianuP(z).
1.1.33.
Wykazać,żelim(ł+
x+iy
n
)
n
=ex(cosy+isiny).
1.1.34.
Zbadaćciągzn=(ł+i)(ł+
2)...(ł+
i
n).
i
1.1.35.
Wykazać,żejeżeliciąg{Ęn}iszeregΣ|bn|sązbieżne,torównieżiszereg
ΣbnĘnjestzbieżny.
1.1.36.
Wykazać,żejeżelirezn≥o(n=ł,2,...)ijeżeliszeregiΣzn,Σz2
nsą
zbieżne,torównieższeregΣ|zn|2jestzbieżny.
1.1.37.
WykazaćnastępującetwierdzenieToeplitza:
Jeśli(ank)(n,k=ł,2,...)jestmacierząnieskończonąowyrazachzespolonych,które
spełniająnastępującewarunki:
ł0Σ∞
k=ł|ank|≤Aprzyn=ł,2,...,
20limkank=oprzyn=ł,2,...(kolumnydążądozera),
30limn(Σ
∞
k=łank)=ł(sumywierszydążądoł),
todlakażdegociąguzbieżnego{Ęn}każdyzszeregówΣ
∞
k=łankĘkjestzbieżny.
Jeślizn=Σ
∞
k=łankĘk,tolimznistniejeirównasięlimĘn.
1.1.38.
Dowieść,żejeśli
|pł|+|p2|+...+|pn|
|pł+p2+...+pn|
≥M>o
dlan=ł,2,...
orazjeżelilim(|pł|+|p2|+...+|pn|)=+∞,todlakażdegociąguzbieżnego{zn}
lim
płzł+p2z2+...+pnzn
pł+p2+...+pn
=limzn.
1.1.39.
Dowieść,żegdyrec>
ł
2
orazzn=uo+uł+...+un–ł+cunjestciągiem
zbieżnym,wtedyrównieżiciągwn=uo+uł+...+un–ł+unjestzbieżnydotej
samejgranicy.
1.1.40.
Dowieść,żejeśli{pn}jestciągiemliczbdodatnich,rosnącymmonotoniczniedo
+∞ijeśliszeregowyrazachzespolonychΣznjestzbieżny,to
wn=p
n(płzł+p2z2+...+pnzn)→o.
–ł
