Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Rzutstereograficzny
7
1.1.41.
Wykazać,żejeśliszeregΣµnznjestzbieżny,przyczym{µn}jestmalejącym
dozeraciągiemliczbdodatnich,tolimµn(zł+z2+...+zn)=o.
1.1.42.
Wykazać,żegdyciągi{un},{vn}sązbieżneodpowiedniodou,v,wtedyciąg
wn=
ł
n
(ułvn+u2vn–ł+...+unvł)jestzbieżnydouv.
1.2.Rzutstereograficzny
NiechOxłx2x3będzieukłademwspółrzędnychprostokątnychwprzestrzeniR3,któregoosieOxł,Ox2
pokrywająsięodpowiedniozosiąrzeczywistąOxizosiąurojonąOypłaszczyznyC.Załóżmy,że
półprostawychodzącaz„biegunapółnocnego”N{o,o,ł}sferyS:x2
ł+x2
2+x2
3=łiprzecinająca
tęsferęwpunkcieAprzecinapłaszczyznęCwpunkciez.Liczbęzespolonąznazywamyrzutem
stereograficznympunktuA∈S,natomiastpunktAnazywamyobrazemsferycznymliczbyzespolonejz.
1.2.1.
Wykazać,żerzutemstereograficznympunktu{xł,x2,x3}∈Sjestpunktz=
(xł+ix2)(ł–x3)–ł.Wykazaćrównież,żeobrazemsferycznympunktuzjestpunkt
owspółrzędnych
xł=
ł+|z|2
z+z
,
x2=
i(ł+|z|2)
z–z
,
x3=
|z|2–ł
ł+|z|2
.
1.2.2.
Wyznaczyćobrazysferycznepunktóweiα,–ł+i,3–4i.
1.2.3.
Znaleźćrzutystereograficznehemisferypółnocnejipołudniowej.
1.2.4.
Wykazać,żeobrazemsferycznymprostejwpłaszczyźnieCjestokrągprzecho-
dzącyprzezN.
1.2.5.
Wykazać,żerzutemstereograficznymdowolnegookręguleżącegonasferzeS
inieprzechodzącegoprzezNjestrównieżokrąg.
1.2.6.
Wykazać,żeobrazysferycznepunktówz,z–łsąpunktamisymetrycznymiwzglę-
dempłaszczyznyrównika.
1.2.7.
Znaleźćzależnośćpomiędzyobrazamisferycznyminastępującychpunktów:
(i)z,–z,
(ii)z,z,
(iii)z,z–ł.
1.2.8.
Wykazać,żejeśliϕ,9sąodpowiednioszerokościąidługościągeograficzną
punktuA,torzutemstereograficznympunktuAjestpunktz=ei9tg(
ł
4
π+
ł
2
ϕ).
1.2.9.
Wykazać,żeobrazysferycznepunktówz,Ęsąpunktamidiametralnymisfery
wtedyitylkowtedy,gdyzĘ=–ł.
1.2.10.
Wykazać,żeokrągA|z|2+Bz+Bz+C=o(A,Crzeczywiste)jestrzutem
stereograficznymwielkiegookręgusferywtedyitylkowtedy,gdyA+C=o.
1.2.11.
Wykazać,żeokrągC(zo,R)jestrzutemstereograficznymwielkiegookręgu
sferywtedyitylkowtedy,gdyR2=ł+|zo|2.
