Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.Równaniaautonomiczne
25
PRZYKŁAD1.4.Jer
slidanejestrównanie˙
x1x,toodpowiadającemurównanie
różnicowe(1.27)możnałatworozwiązar
c.Maonobowiempostar
c
xi+11xi+xi∆t1(1+∆t)xi.
Stąd
xi1(1+∆t)
ixo.
(1.28)
(1.29)
Jednak,jakwiemy,rozwiązanierównaniaróżniczkowego˙
x1xmapostar
cx(t)1
1xoet(patrzprzykład1.2).Jer
sliprzyjmiemyt1Torazźtakie,żeź∆t1T,to
zauważymy,że(1+∆t)i1(1+i∆t
i)i1(1+T
i)i,cojestdobrymprzybliżeniem
eTdladużychź.
I
Metodanumerycznegorozwiązywaniarównaniaróżniczkowegopierwszego
rzęduopisanawzorem(1.27)nazywasięschematemEulera.Jesttojednaznaj-
prostszychmetodnumerycznych.
1.4.
Równaniaautonomiczne
DEFINICJA1.7.Równanie(1.18),wktórymprawastronaniezależyjawnieod
zmiennejniezależnej,nazywasięrównaniemautonomicznym.Równanietoma
formę
x1f(x).
˙
(1.30)
Należyzauważyr
c,żekażderównaniepostaci(1.18)możnasprowadzir
cdorówna-
niaautonomicznego.Wtymcelunależywprowadzir
cnowązmiennąniezależnąs
danąrównaniems1t,azmiennątpotraktowar
cjakokolejnąskładowąwektorax.
Wtedyrównanie(1.18)możnazapisar
cwpostaci
x1¯
¯
˙
f(¯
x),
(1.31)
gdzie¯
x1(x
t),¯
f1(f
1),aróżniczkowanieoznaczaróżniczkowaniewzględem
nowejzmiennejniezależnejs.Ewolucjęprocesówopisywanychrównaniamiauto-
nomicznyminajwygodniejjestrozpatrywar
cwprzestrzenifazowejtakiegorówna-
nia,czyliwzbiorzewszystkichmożliwychwartor
scizmiennejzależnej.Jer
slixjest
wektoremm-wymiarowym,toprzestrzer
nfazowajestpodzbioremprzestrzeniRm.
Jakpamiętamyzpoprzedniegopodrozdziału,wprzestrzeniRm+1mamykrzy-
wecałkowebędącewykresamikonkretnychrozwiązar
nrównania(1.18).Rzutując
dowolnąkrzywącałkowąnaprzestrzer
nRm,otrzymujemywniejkrzywąfazową
będącąobrazemrozwiązania.Jaksięokazuje,tenrodzajopisu(mimojegoczę-
sciowejniedookrer
r
slonor
sci)jestniezwykleprzydatny,szczególnieprzybadaniuja-
kor
sciowegocharakterurozwiązar
n.
