Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.Schematyróżnicowe
2.1.
Schematyjednokrokowe
Zrozwiązywaniemrównar
nróżniczkowychmetodamiróżnicowymizetknęlir
smy
sięjużwpodrozdziale1.3,rozważającschematEulera.Obecnieprzedstawimyme-
todyróżnicowewsposóbusystematyzowany.
Niechbędziedanezagadnieniepoczątkowe
x1f(t,x),
˙
x(to)1xo.
(2.1)
Zagadnienietochcemyrozwiązar
cnaprzedziale[to,T].Wtymceludzielimyten
przedziałnaNrównychczęr
sci,odługor
scih1Tlto
N
,zapomocąpunktówtk1
1to+kh,k10,1,...,N.Wdalszymciągubędziemyposzukiwar
crozwiązania
zagadnienia(2.1)wpunktachtk.Oznaczato,żeszukamyciąguxo,x1,...,xN
otejwłasnor
sci,żemożliwiedobrzeprzybliżaonciągx(to),x(t1),...,x(tN),
gdziex(t)jestrozwiązaniemzagadnienia(2.1).Trudnooczekiwar
c,żexk1x(tk).
Jednakwdobrychmetodachprzybliżonegorozwiązywaniarównania(2.1)obiete
wielkor
scipowinnyzbiegar
cdosiebie,gdyh→0.Wdalszymciąguhbędziemy
nazywalikrokiemcałkowania,awektorf(tk,xk)będziemyoznaczaliprzezfk.
Abyskonstruowar
cmożliwiedobrąmetodęróżnicową,możemysięodwołar
cdo
wzoruTaylora,zktóregootrzymujemywyrażenie
x(t+h)1x(t)+hx(1)(t)+
h2
2
x(2)(t)+···1x(t)+hf(t,x(t))+O(h2),(2.2)
gdziex(j)oznaczaj-tąpochodnąx(t).Jer
sliprzyjmiemyt1tkorazzałożymy,
żewpunkcietkwartor
sr
cxkdobrzeaproksymujex(tk),topomijającwyrazyrzędu
h2,otrzymamywzór
xk+11xk+hfk.
(2.3)
Zauważmy,żejesttoschematEulera,rozważanypoprzednio.
