Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Interpretacjageometryczna
możemyrównanie(1.14)zapisar
cwpostacirównaniapierwszegorzędu
x1g(t,¯
¯
˙
x),
gdzieg(t,¯
x)jestwektorem
g(t,¯
x)1
(
|
|
|
\
f(t,xo,x1,...,xnl1)
x1(t)
x2(t)
.
.
.
\
|
|
|
)
.
19
(1.16)
(1.17)
Wdalszymciągubędziemysięgłówniezajmowalirównaniamipierwszego
rzędu(dokładniejukładamirównar
npierwszegorzędu),którezapisujemywpostaci
x1f(t,x).
˙
(1.18)
NiechG⊂Rm+1będziezbioremspójnym,wktórymprawastronarównania
(1.18)jestdobrzeokrer
slona.ZbiórGbędziemynazywar
crozszerzonąprzestrzenią
fazowąrównania(1.18),ajegorzutDnaprzestrzer
nRmzmiennychx-prze-
strzeniąfazowątegorównania.WzbiorzeGistniejezwyklebardzowielekrzy-
wychcałkowychrównania(1.18).Krzywetetworząwieloparametrowerodziny
rozwiązar
n(przykładytakichrodzinznajdzieCzytelnikwrozdziałach3,4i6).Jer
sli
ϕ(t;c1,...,cm):R→Rmjestrodzinąfunkcji,sparametryzowanąmparametra-
mic1,c2,...,cm,takążedlakażdego(c1,...,cm)∈A⊂Rm,ϕ(t;c1,...,cm)
jestkrzywącałkowąrównania(1.18)idlakażdego(to,xo)∈Gistniejąparame-
try(co
1,...,co
m)∈A,takieżeϕ(t;co
1,...,co
m)jestkrzywącałkowąprzechodzącą
przezpunkt(to,xo),torodzinęϕ(t;c1,...,cm)nazywamyrozwiązaniemogólnym
równania(1.18).Opróczpojęciarozwiązanieogólnebędziemysięposługiwar
ctak-
żeterminemcałkaogólna,rezerwującgodlauwikłanegoprzedstawieniarozwią-
zaniaogólnego
o(t,x;c1,...,cm)10.
1.3.
Interpretacjageometryczna
Wceluzrozumieniageometrycznegosensurozwiązar
nrównania(1.18)rozpatrzmy
torównaniewprzypadkuskalarnym(m11).Niechfunkcjax(t)będzierozwią-
zaniemtegorównaniainarysujmyjejwykresnapłaszczyźnie(t,x).
Narysunku1.1opróczwykresufunkcjix(t)narysowalir
smykilkawektorów
stycznychdotegowykresu.Jakwiadomo,wektorstycznydowykresufunkcjix(t)
mapostar
c[1,˙
x(t)]1[1,f(t,x)].Zatemrównanie(1.18)możnaodczytar
cnastępu-
jąco.Napłaszczyźnie(t,x)zadanejestpolekierunków[1,f(t,x)].Należyznaleźr
c
