Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
Zadania
1.Pojęciapodstawowe
1.Sprawdzir
c,czypodanarodzinafunkcjijestrozwiązaniemwskazanegorównaniaróż-
niczkowego:
a)x(t)1c1cos6t+c2sin6t,
b)x(t)1tgt,
c)x(t)1c1e6t+c2el6t,
d)x(t)1c1e6t+c2el6t−1
2t−1
36,
e)x(t)1
f)x(t)1cel2t+1
sint
t
,
3et,
g)x(t)12+c√1−t2,
x+36x10
¨
x11+x2
˙
x−36x10
¨
x−36x118t+1
¨
t˙
x+x1cost
x+2x1et
˙
(1−t2)˙
x+tx12t
2.Znaleźr
crównanieróżniczkowe(możliwieniskiegorzędu),któregorozwiązaniemjest
zadanarodzinakrzywych:
a)x(t)1ect
c)x(t)1ct3
e)t2+cx212x
g)(t−c1)2+c2x211
b)x(t)1(t−c)3
d)x(t)1sin(t+c)
f)x2+ct1t3
h)t1c1x2+c2x+c3
3.NiechAbędzierodzinąkrzywychpłaskichopisanychrównaniemparametrycznym
o(t,x,I)10,gdzieIjestparametrem.RodzinęBnazywamyrodzinąkrzywych
ortogonalnychdokrzywychrodzinyA,jer
slikrzywerodzinyBprzecinająwszystkie
krzywerodzinyApodstałymkątemo1π/2.NiechF(t,x,˙
x)10będzierówna-
niemkrzywychrodzinyA.Wykazar
c,żekrzywerodzinyBsąopisywanerównaniem
F(t,x,−1/˙
x)10.
4.NiechrównanieróżniczkowerodzinykrzywychAzpoprzedniegozadaniabędzieda-
newewspółrzędnychbiegunowychF(ϕ,r,dr/dϕ)10.Znaleźr
crównanieróżnicz-
kowe,jakiespełniarodzinakrzywychortogonalnychB(teżwewspółrzędnychbiegu-
nowych).
5.Znaleźr
crównanierodzinykrzywychortogonalnychdorodzinkrzywych:
a)cosx1Ielt
b)t2+1
2x21I2
c)t2−x21I2
d)tk+xk1Ik,k-stała
e)x214(t−I)
f)r1I(1+cosϕ)
(r,ϕ-współrzędnebiegunowe)
g)r21Icos2ϕ
(r,ϕ-współrzędnebiegunowe)
6.NiechbędziedanarodzinaAkrzywychpłaskich,opisanarównaniemróżniczkowym
F(t,x,˙
x)10.RodzinęBnazywamyrodzinąkrzywychizogonalnychdorodzinyA,
jer
slikrzywerodzinyBprzecinająwszystkiekrzywerodzinyApodstałymkątemo.
Znaleźr
crównaniaróżniczkowe,spełnianeprzezkrzywerodzinyB.
