Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Pojęciapodstawowe
1.1.
Przykładyzjawiskprowadzącychdorównań
różniczkowych
Przedmiotemnaszegozainteresowaniabędziebadaniemodeliprocesówewolucyj-
nych.Procesytakieopisujązmianęzjawiskwczasie,czyliichewolucję.Będziemy
sięzajmowar
cjedynieprocesamideterministycznymi,tj.takimi,wktórychstany
przyszłesącałkowicieokrer
sloneprzezstanaktualny.Abyznaleźr
csposóbmate-
matycznegoopisuprocesówewolucyjnych,rozważmynastępującąsytuację.Niech
danabędzieprzestrzer
nRmipunktpo∈Rm.Punkttenporuszasiętak,żewkażdej
chwilit∈RprzyjmujepołożenieP(t)∈Rm.KrzywąP(t)nazywamytrajekto-
riąpunktupowprzestrzeniRm.Jer
slitrajektoriatajestwystarczającogładka,to
wkażdympunkcietoistniejewektorstyczny
∆t→o
lim
P(to+∆t)−P(to)
∆t
df
1˙
P(to).
(1.1)
Wektor˙
P(t)nazywamyprędkościąpunktupowchwilit.Oczywir
scie˙
P(t)jest
takżekrzywąwRmijer
slijestonadostateczniegładka,towkażdympunkcieist-
niejedoniejwektorstyczny¨
P(t).Wektortennazywamyprzyspieszeniempunktu
powchwilit.Opisanasytuacjajesttypowadlaprocesówewolucyjnych,które
sąskor
nczeniewymiaroweiróżniczkowalne.Przestrzer
nRmreprezentujewszystkie
możliwestanynaszegoprocesu,aróżniczkowalnatrajektoria-ewolucjęprocesu.
Wfizyce,biologiiiekonomiibardzoczęstowystępujązjawiskapodlegające
procesomewolucyjnym,któredająsięopisar
cruchempunktuwRm.Dodatkowo,
naukitenarzucająpewneprawarządzącetakimruchem,orzekając,żeprędkor
sr
c
ruchulubjegoprzyspieszeniejestznanąfunkcją.
PRZYKŁAD1.1.Niechpobędziepunktemmaterialnymomasiem,poruszającym
sięwprzestrzenifizycznejR3.DrugazasadadynamikiNewtonawiążeprzyspie-
szenietegopunktuzdziałającąnaniegosiłą
m¨
P(t)1f(·),
(1.2)
