Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
otrzymujemydladużychź
eki≈(1+
kź
ź)
i
1(1+k)i.
1.Pojęciapodstawowe
(1.12)
I
1.2.Definicjarównaniaróżniczkowego
Obecnieuporządkujemypojęciawprowadzoneintuicyjnie.
DEFINICJA1.1.Równaniemróżniczkowymzwyczajnymrzędunnazywamyrów-
nanie
F(t,x,˙
x,¨
x,...,x(n))10
(1.13)
wiążącezmiennąniezależnąt,zmiennezależnexiichpochodne˙
x,¨
x,...,x(n)
ażdorzędun.Rozwiązaniemrównania(1.13)nazywamyfunkcjęϕ(t)klasy
Cn,którapodstawionadorównaniawmiejscex(iodpowiednioϕ/wmiejsce
x,...,ϕ(n)wmiejscex(n))zmieniatorównaniewtożsamor
˙
sr
c.
UWAGA.Zmiennązależnąx(t)orazfunkcjęFtraktujemyjakofunkcjewektorowe
owartor
sciachwprzestrzeniRm.
DEFINICJA1.2.Wykresfunkcjiϕ(t)wprzestrzeniRm+1zmiennych(t,x)nazy-
wamykrzywącałkowąrównania(1.13).
Posługiwaniesięrównaniamiróżniczkowymiwpostaci(1.13)jestdor
sr
cniewygod-
neirzadkospotykanewpraktyce.Jer
slinajwyższapochodnax(n)wchodzidofunk-
cjiFwsposóbnietrywialny,tozwyklelokalniesąspełnionezałożeniatwierdzenia
ofunkcjiuwikłanejirównanie(1.13)możnarozwikłar
cwzględemnajwyższejpo-
chodnej
x(n)(t)1f(t,x,˙
x,...,x(nl1)).
(1.14)
Zauważmy,żerównanien-tegorzęduwpostaci(1.14)możnałatwosprowadzir
cdo
równaniapierwszegorzędu.Wtymceluoznaczmy
xo(t)1x(t),x1(t)1˙
x(t),...,xnl1(t)1x(nl1)(t).
Wprowadzającnowązmiennązależną
x(t)1
¯
(
|
|
|
\
xnl1(t)
xo(t)
x1(t)
.
.
.
\
|
|
|
)
,
(1.15)
