Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Aksjomatycznateorialiczbrzeczywistych
17
Nazakończeniepowrócimyjeszczedodefinicjifunkcji.Podananapo-
czątkutegopodrozdziałudefinicjajestintuicyjniejasnaiwystarczającadla
celówpraktycznych,aleniejestonaścisła,ponieważwykorzystujerówno-
ważnefunkcjipojęcieprzyporządkowania.
Pokażemyterazwjakisposóbmożnazdefiniowaćprecyzyjniefunkcję
wjęzykuteoriizbiorów.
Definicja1.5.Niechdanebędądwa(niepuste)zbioryXiY.Relacja
f⊂X×YjestfunkcjąprzekształcającązbiórXwzbiórY,jeślispełnia
onanastępującywarunek:
(F)Dlakażdegoelementux∈Xistniejedokładniejedenelementy∈Y
taki,żexfy.
Zdefinicjirelacjiwynika,żefunkcjajestokreślona,jeślidanyjestpro-
duktX×Yijegopodzbiórftak,abywarunek(F)byłspełniony.Zamiast
pisaćxfy,piszemyy=f(x)lubx→y=f(x).
Niechf⊂R×R,gdzieRjestzbioremliczbrzeczywistych,będziefunk-
cją.Jeśliparyuporządkowane(x,y)∈R×Rutożsamimyzpunktamipłasz-
czyzny,aichpoprzednikiinastępnikiodpowiedniozodciętymiirzędnymi
punktów,tookazujesię,żepojęciefunkcjizdefiniowanepowyżejjesttym
samymcowykresfunkcjiwterminologiigeometrycznej.
1.3.Aksjomatycznateorialiczbrzeczywistych
Definicja,którąpodamyponiżej,zawieraelementarnewłasnościliczb
znanezpraktykiizeszkołyśredniej.Zamiastdefiniowaćpojedynczeliczby
rzeczywiste,zdefiniujemyjejakozbiórzaopatrzonywpewnerelacjeiopera-
cje.Własnościtychrelacjiioperacjisąpodanepoprzezsystemaksjomatów.
Dzielimyjenaczterygrupy:aksjomatydodawania,mnożenia,uporządko-
waniaiczwartą,którazawieratylkojedenaksjomat—aksjomatkresu
górnego.
Definicja1.6.ZbiórR(zawierającyconajmniejdwaelementy)nazywamy
zbioremliczbrzeczywistych,ajegoelementy—liczbamirzeczywistymi,jeśli
maonnastępującewłasności:
(I)Aksjomatydodawania
Określonejestodwzorowanie(zwanedodawaniem)+:R×R→R,przypo-
rządkowującekażdejparzeuporządkowanej(x,y)∈R×Relementx+y∈R,
zwanysumąelementówxiy.Przyczymspełnionesąnastępującewarunki:
