Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1
Elementyteoriizbiorów
1.1.Zbioryirelacje
Gdyrozważamypewnąilośćobiektów,„elementów”,mówimyo„zbiorze”,
„rodzinie”,„mnogości”.Mówimynp.ozbiorzestudentówznajdującychsięw
auli,zbiorzeludziwtramwajunumer13,zbiorzezapałekwpudełku,zbiorze
kątówwielokąta,itd.
Pojęciezbiorujestpodstawowympojęciemwmatematyce.Jesttopo-
jęciepierwotne,awięctakie,któregoniedefiniujemy.Obiekty,którenależą
dodanegozbiorunazywamyjegoelementami.
ZbioryoznaczamydużymiliteramiA,B,C,
...Będziemypisaća∈A
zamiastajestelementemzbioruA(anależydozbioruA)oraza/∈A
zamiastaniejestelementemzbioruA(anienależydozbioruA).
Wmatematycekorzystnejestwprowadzeniepojęciazbiorupustego,któ-
ryniezawierażadnegoelementu.Możnawówczasmówićnp.zbiórliczbrze-
czywistychspełniającychnierównośćx2<0jestpusty,zamiastnieistnieje
liczbarzeczywistaxspełniającanierównośćx2<0.Zbiórpustybędziemy
oznaczaćsymbolem∅.
Zbiór,któregowszystkimielementamisąa1,...,anbędziemyoznaczać
wnastępującysposób{a1,...,an}.Wszczególności{a}oznaczazbiór,któ-
regojedynymelementemjesta.Czasaminiemożliwejestwyliczeniewszyst-
kichelementówdanegozbioru.Możnawówczaszdefiniowaćzbiórprzezpo-
daniewłasności,którąmusząmiećjegoelementyA={x:w(x)},czyliA
jestzbioremtychx,któremająwłasnośćw,np.A={x:x2−1<0}.
JeślikażdyelementzbioruAjestelementemzbioruB,tomówimy,że
AjestpodzbioremBlub,żeAzawierasięwB.PiszemywówczasA⊂B
lubB⊃A.Zdefinicjipodzbioruwynika,żezawsze∅⊂AiA⊂A.Jeśli
A⊂BiB⊂A,tozbioryAiBmajądokładnietesameelementy.Piszemy
wówczasA=B.Ponadtojestoczywiste,żejeśliA⊂BiB⊂C,toA⊂C.
NiechTiXbędązbiorami.Załóżmy,żekażdemuelementowit∈T
odpowiadapewienpodzbiórAtzbioruX.Zbiór,któregoelementamisą
zbioryAt,będziemyoznaczaćsymbolem{At:t∈T}lubkrócej{At}.Za-
