Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
1.Wiadomościwstępne
RozważmyterazprzestrzeńRn,gdzien≥2.Punktytejprze-
strzenibędziemyoznaczaliprzezx1(x17x27...7xn),y1
(y17y27...7yn)itp.Określmyrelację≤wprzestrzeniR
nna-
stępująco:
^
(x≤y⇔xi≤yidlaiE17n).
x7yERn
Oczywistejest,żerelacjatajestzwrotna(x≤x),przechodnia
(x≤y∧y≤z)⇒x≤z,iantysymetryczna((x≤y∧y≤x)⇒
x1y).Niejestjednakspójna,naprzykładdlax1(175)iy1
(772)niejestprawdziwawymaganaprzyspójnościalternatywa
x≤y∨y≤x.Takwięcokreślonaturelacjanierówności≤
wRnjestporządkiem,aletylkoporządkiemczęściowym.
20NiechXbędzierodzinąpodzbiorówustalonegoiniepustego
zbioru,a⊂niechbędzierelacjąinkluzjiwX.Ponieważ
A
B
C
A⊂A7
A⊂B∧B⊂C⇒A⊂C7
A⊂B∧B⊂A⇒A1B
A
B
dladowolnychA7B7C⊂X,więc⊂jestporządkiemwX.
Zauważmy,że⊂niejestnaogółporządkiemliniowym,istnieją
bowiemzwyklepodzbioryA7B⊂Xtakie,żeA/⊂BiB/⊂A.
Rys01070Relacjainkluzji
jestporządkiem,alenie
Relacjęporządkudefiniujesięczasamiodmiennie,jakorelację
jestporządkiemliniowym,
boniejestspójna
P⊂X×Xprzechodniąiprzeciwsymetryczną(Małaencyklo-
pedialogiki,Ossolineum1970).Wceluodróżnieniatychdwóch
definicjinazwijmyR(wsensieprzyjętejprzeznasdefinicji)po-
rządkiemnieostrym,aP(wsensiedefinicjiprzytoczonejwyżej)
porządkiemostrym.Łatwowykazać,że:
1030JeślirelacjaPwXjestprzechodniaiprzeciwsymetryczna,
torelacjaRwXokreślonawyrażeniem
x7yEX
^
(xRy⇔xPy∨x1y)
jestzwrotna,przechodniaiantysymetryczna.
1031JeślirelacjaRwXjestzwrotna,przechodniaiantysyme-
tryczna,torelacjaPwXokreślonawyrażeniem
x7yEX
^
(xPy⇔xRy∧x/1y)
