Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
Rozdział2
nazywamypochodnymicząstkowymipierwszegorzędufunkcjifnazbiorzeD
ioznaczamyprzez
B
B
f
x
,
B
B
f
y
lub
f
x
'
,
f
y
'
.
Analogicznieokreślamypochodnecząstkowepierwszegorzędufunkcjitrzech
zmiennych.
Obliczającpochodnącząstkowąwzględemjednejzmiennej,pozostałezmienne
traktujemyjakstałe,stosujemyprzytymtakiesameregułyjakwprzypadkuróż-
niczkowaniafunkcjijednejzmiennej(opisanewCzęści1(Elementymatematyki
wyższej.Zadaniazrozwiązaniami.Część1),rozdział8).
Jeżelifunkcjafmapochodnecząstkowepierwszegorzęduwkażdympunkcie
(
xypewnegozbioruotwartego,tosąonefunkcjamidwóchzmiennych,możemy
,
)
więcdalejróżniczkowaćjewzględemzmiennychxorazy.Różniczkującponownie
pochodnepierwszegorzędu,otrzymujemypochodnecząstkowedrugiegorzędu.
Definicja2.4
Niechfunkcjafmapochodnecząstkowe
B
f
,
B
f
B
x
B
y
przynajmniejnaotoczeniu
Oxy.Pochodnecząstkowedrugiegorzędufunkcjifwpunkcie(x0,y0)
(
0
,
0
)
określamywzorami:
B
B
x
2
f
2
(
xy
0
0
)
±|
(
k
B
BB
x
(
|
k
B
f
x
N
|
)
N
|
)
(
xy
0
,
0
)
,
BB
B
xy
2
f
(
xy
0
0
)
±|
(
k
B
BB
x
(
|
k
B
y
f
N
|
)
N
|
)
(
xy
0
,
0
)
,
BB
B
yx
2
f
(
xy
0
0
)
±|
(
k
B
B
y
(
|
k
B
B
f
x
N
|
)
N
|
)
(
xy
0
,
0
)
,
B
B
y
2
f
2
(
xy
0
0
)
±|
(
k
B
B
y
(
|
k
B
B
f
y
N
|
)
N
|
)
(
xy
0
,
0
)
,
Definicja2.5
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Jeżelifunkcjafmapochodnecząstkowedrugiegorzęduwkażdympunkciezbioru
otwartego
D
C
R
2
,tofunkcje
B
B
2
x
f
2
(
xy
)
BB
B
xy
2
f
(
xy
)
BB
B
yx
2
f
(
xy
)
B
B
2
y
2
f
(
xy
)
,gdzie
(
xy
,
)
E
D
,
,
,
,
,
,
,
