Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6
1.Granicaiciągłośćfunkcjijednejzmiennej
y
x
Rysunek1030
Znajdziemydwaciągi(x/
n)n∈Ni(x//
n)n∈Nzbieżnedoxo=0itakie,żeodpowiada-
jąceimciągiwartości(f(x/n))
n∈N
i(f(x//
n))
n∈N
sązbieżnedoróżnychgranic.
Niech
x
/
n=
πn
1
orazx//
n=
π
2+2πn
1
j
n∈N.
Oczywiścielimn→∞x/
n=limn→∞x//
n=0.Ponadto
n→∞
lim
f(x
/
n)=lim
n→∞
sin(πn)=lim
n→∞
0=0
oraz
n→∞
lim
f(x
//
n)=lim
n→∞
sin(π
2+2πn)=lim
n→∞
1=1.
AzatemnamocydefinicjiHeinegogranicywynika,żelimx→osin
xnieistnieje.I
1
Podamyterazdrugą,równoważną,definicjęgranicyfunkcjif:G→Rwpunk-
ciexo(któryjestpunktemskupieniazbioruG).
Liczbagjestgranicą(właściwą)funkcjifwpunkciexo(rys.1.4),jeślidla
każdejliczbyε>0istniejeliczbaδ>0taka,żedlax∈G,x/=xo,spełniających
zależność|x−xo|<δzachodziwarunek|f(x)−g|<ε.Wzapisiesymbolicznym
∀ε>o∃δ>o∀x∈G,x/lx
o
(|x−xo|<δ⇒|f(x)−g|<ε).
(1.1)
Powyższądefinicjęgranicynazywamyteżdefinicjągranicyfunkcjiwpunkcie
wsensieCauchy’ego.
Uwaga1.2
i)Zauważmy,żedefinicjęgranicyfunkcjiwpunkciewsensieCauchy’egomożemy
słowniewyrazićnastępująco:dlakażdejliczbyε>0istniejeliczbaδ>0taka,
żejeślipunktx∈Gleżywsumiedwóchprzedziałów(xo−δjxo)i(xojxo+δ),
towartośćf(x)leżywprzedziale(g−εjg+ε).
ii)JeślixojestpunktemskupieniazbioruG,towdowolnymzbiorzepostaci
(xo−δjxo)∪(xojxo+δ)znajdziemypunktyzbioruG.
Sumędwóchprzedziałów(xo−δjxo)∪(x,xo+δ)(patrzpowyższauwaga),
gdzieδ>0,nazywamysąsiedztwempunktuxo.Wdalszychrozważaniachfunkcje
