Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Granicaiciągłośćfunkcji
29
piszemywówczas
x→1∞
lim
f(x)=g.
Analogiczniedefiniujemygranicęwłaściwąfunkcjiw∞i−∞wsensieHeinego.
g+ε
g−ε
f(x)
g
y
0
a
R
x
x
Rysunek10220Granicawłaściwa
funkcjifwnieskończoności
wsensieCauchy’ego
Uwaga1.7.Własność1.1zachodzirównieżdlagranic(właściwych)funkcjiwnie-
skończoności.
Przykład1.8.Pokażemy,napodstawiedefinicjigranicyfunkcjiwnieskończoności
wsensieHeinego,że
x→∞
lim
x+1
2x
=2.
Weźmydowolnyciąg(xn)n∈Ntaki,żexn/=−1,n∈N,orazlimn→∞xn=∞.
Wówczasdlan∈Nmamy
f(xn)=
xn+1
2xn
=
xn+1
2xn
xn
xn
=
1+1
2
xn
.
Ponieważ
n→∞
lim
f(xn)=lim
n→∞
1+1
2
xn
=
1+0
2
=2j
więc
x→∞
lim
x+1
2x
=2.
I
Ćwiczenie1.18.Pokazać,że
x→1∞
lim
ex=0.
Rozwiązanie.Niechε>0.Możemyzałożyć,żeε<1.PrzyjmijmyR=
lnε<0.Niechx<R.Ponieważfunkcjaxl→exjestrosnąca,więcex<eR,
czyli
|ex−0|=ex<eR=εj
azatemlimx→1∞ex=0.
I
