Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
2.Technikimodelowaniageometrycznego
2.1.2.Parametrycznekrzywewielomianowetrzeciegostopnia
Wmodelowaniutrójwymiarowymwymaganajestgeometrycznareprezentacja
opisującakrzyweprzestrzenne,atakżeniepowodującatrudnościobliczeniowych
iniepożądanego„zafalowania”wynikającegozestosowaniakrzywychwielomia-
nowychwyższegorzędu.Tewymaganiaspełniająwielomianytrzeciegostopnia
(najniższystopieńwielomianuopisującegokrzywąprzestrzenną),któresązazwy-
czajstosowanejakopodstawowewkomputerowejreprezentacjigeometrii.
Dwapunktymogązostaćpołączoneliniąprostą,trzy–łukiemokręgu,nato-
miastprzyczterechpunktachistniejąwarunkibrzegowedlaznalezieniawielomia-
nuinterpolacyjnegotrzeciegostopnia.Dopasowaćkrzywądoczterechpunktów
(rys.2.3a)możnanajłatwiejzapomocąinterpolacjiLagrange,a.Majączadane
współrzędnetychpunktów,możemyzapisać:
x=a
1+b
1u+c
1u2+d
1u3,
(2.9)
y=a
2+b
2u+c
2u2+d
2u3,
(2.10)
z=a
3+b
3u+c
3u2+d
3u3.
(2.11)
Dwanaściewspółczynnikówokreślajednoznaczniefragmentkrzywejdla
u∈[0,1]wrazzjejusytuowaniemwprzestrzeni.Dwiekrzyweotymsamymkształ-
ciemająróżnewspółczynniki,jeżelisąróżniezorientowaniewprzestrzeni.Jednak-
żekontrolowaniekształtukrzywejwtypowymmodelowaniupoprzezkontrolęwar-
tościwspółczynnikówrównań(2.9)÷(2.11)niejestdogodnąiintuicyjnąmetodą.
Rys.2.3.Dopasowaniekrzywejdozadanych:a)czterechpunktów,b)dwóchpunktów
iwektorówstycznychwtychpunktach
Krzywatrzeciegostopniamożebyćrównieżzdefiniowanadlapołącze-
niadwóchpunktówprzyzadanychwarunkachjejnachyleniawtychpunktach
(rys.2.3b)–jesttotzw.interpolacjaHermite,a.Wielomiansześciennyjestdefi-
niowanyprzezrównania(2.9)÷(2.11),comożnazapisaćwpostaci:
