Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
18.FUNKCJEZMIENNEJZESPOLONEJ—TEORIA
Obliczmyteraz∫
Cdz/zpokonturachzrysunku18.8.Napoczątekzapiszmy
1
z
=
x+iy
1
=
x2+y2
x
–i
x2+y2
y
.
Zewzoru(3.6)otrzymujemy
∫
dz
z
=∫
x2+y2
xdx
+
x2+y2+i∫
ydy
–
x2+y2
ydx
+
x2+y2,
xdy
C
C
C
więc
a
a
a
a
∫
dz
z
=
∫
x2+a2
xdx
+i
∫
x2+a2+
adx
∫
y2+a2
ydy
+i
∫
y2+a2
ady
A
–a
–a
–a
–a
a
a
=2ia
∫
u2+a2
du
=4ia
∫
u2+a2
du
=4iarctga,
–a
0
natomiast
a
a
a
a
∫
dz
z
=
∫
y2+a2
ydy
–i
∫
y2+a2+
ady
∫
x2+a2
xdx
–i
∫
x2+a2
adx
B
–a
–a
–a
–a
a
=–2ia
∫
u2+a2
du
=–4iarctga.
–a
Zatemwtymprzypadkuwartośćcałkizależyodkonturu.
Gdyf(z)=cosz,całkakonturowaniezależyoddrogicałkowaniaimożemyją
obliczyćtak,jakcałkęoznaczonązcosz.Natomiastgdyf(z)=1/z,całkakonturowa
zależyodwyborukonturu.DlaobufunkcjiużyliśmytychsamychkonturówAiB,
problemleżywięcwcharakterzefunkcjipodcałkowych.Wiemy,żef(z)=coszjest
funkcjąanalitycznąnacałejpłaszczyźniezespolonej,natomiastfunkcja1/zmapunkt
osobliwy(biegunprosty)wz=0.Narysunku18.9przedstawionoobszarzawierający
obakonturyAiBzrysunku18.8.Widzimy,żefunkcjaf(z)=coszjestanalityczna
wtymobszarze,af(z)=1/znieitojestprzyczyną,dlaktórejcałkowanief(z)=
coszod(–a,–a)do(a,a)niezależyoddrogicałkowania,podczasgdycałkowanie
funkcjif(z)=1/zzależyodwyborudrogicałkowania.Możemyterazsformułować
nasząobserwacjęwpostacitwierdzenia.
Zanimjednakpodamytotwierdzenie,musimywprowadzićkilkadefinicjiiuzgod-
nićkierunek,wktórympunktzobiegakrzywązamkniętą.KrzywąJordananazywaćbę-
dziemykrzywązamkniętąbezpunktówsamoprzecięcia.Krzywanarysunku18.10ajest
krzywąJordana,wodróżnieniuodkrzywejzrysunku18.10b.Mówimy,żezporuszasię
pokrzywejJordanawkierunkudodatnim,gdyobszarograniczonyprzezkrzywąleżypo
lewejstronie(przódwyznaczakierunekporuszającegosięz).Narysunku18.11zazna-
czonotenkierunekstrzałkąnakrzywej.ObszarRnarysunku18.11jestjednospójny,co
oznacza,żekażdąkrzywąleżącąwtymobszarzemożemyskurczyćdopojedynczego
