Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
Metodaelementówbrzegowychwanaliziepłyt
Niechbędziedanainnafunkcja
g
=
g
()
x
,
y
określonawobszarzeΩinabrzegu
Γ.Wówczasmożnazapisać(Katsikadelis,2002):
Ω
∫
∂
(
f
∂
x
⋅
g
)
⋅
d
Ω
=
Γ
∫
(
f
⋅
g
)
⋅
n
x
⋅
ds
=
Ω
∫
g
⋅
∂
∂
f
x
⋅
d
Ω
+
Ω
∫
f
⋅
∂
∂
g
x
⋅
d
Ω
,
(1.5)
Ω
∫
∂
(
f
∂
y
⋅
g
)
⋅
d
Ω
=
Γ
∫
(
f
⋅
g
)
⋅
n
y
⋅
ds
=
Ω
∫
g
⋅
∂
∂
f
y
⋅
d
Ω
+
Ω
∫
f
⋅
∂
∂
g
y
⋅
d
Ω
.
Stądzależność(1.5)przyjmieformę:
Ω
∫
g
⋅
∂
∂
f
x
⋅
d
Ω
=
−
Ω
∫
f
⋅
∂
∂
g
x
⋅
d
Ω
+
∫
Γ
(
f
⋅
g
)
⋅
n
x⋅
ds
,
azależność(1.6)postać:
Ω
∫
g
⋅
∂
∂
f
y
⋅
d
Ω
=
−
Ω
∫
f
⋅
∂
∂
g
y
⋅
d
Ω
+
Γ
∫
(
f
⋅
g
)
⋅
n
y⋅
ds
.
Równania(1.7)i(1.8)znanesąpodnazwątwierdzeniaGaussa-Greena.
1.1.2.TwierdzenieodywergencjiGaussa
Niechdanybędziewektor
u
r
=
f
⋅
r
i
+
g
⋅
r
j
,
któregowspółrzędnewobszarzeΩinabrzeguΓokreślonesąnastępująco:
g
f
=
=
g
f
()
()
x
x
,
y
y
,
,
(1.6)
(1.7)
(1.8)
(1.9)
(1.10)
Wówczas,powykorzystaniubezpośredniorównań(1.1)i(1.2),możnazapisać:
Ω
∫
(
|
|
k
∂
∂
f
x
+
∂
∂
y
g
N
|
|
)
⋅
d
Ω
=
Γ
∫
(
f
⋅
n
x
+
g
⋅
n
y
)
⋅
ds
.
(1.11)
Niechwspółrzędnexiyreprezentowanesąwkonwencjiwskaźnikowejprzezx
ix2,afunkcje
f
()
x
,
y
i
g,
()
x
y
przeznastępującefunkcje
u
1
(
x
1
,x
2
)
i
u
2
(
x
1
,x
2
)
:
1
g
f
()
()
x
x
,
y
y
=
=
u
u
1
2
(
(
x
x
1
1
,
,
x
x
2
2
)
)
,
.
(1.12)
,
