Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Nielinioweukładydynamiczne,punktyrównowagiistabilność
9
wagi.Stabilnośćasymptotycznaniemówinicotym,jakszybkoukładzbiegadopunktu
równowagianinieoznacza,żezbieżnośćjest„monotoniczna”–układmożepoczątkowo
oddalićsięodpunkturównowagi,byostateczniedoniegopowrócić.Takietrajektoriepo-
kazanonarys.1.2.Informacjaoszybkościzbieżnościwynikanatomiastzdefinicjistabil-
nościwykładniczej–decydujeoniejparametrαwewzorze(1.15).
Dlastacjonarnychukładówliniowychkoniecznymidostatecznymwarunkiemstabil-
nościasymptotycznejjestpołożeniewszystkichwartościwłasnychmacierzystanuwlewej
półpłaszczyźniezmiennejzespolonej.
Otym,żewymaganiestabilnościumieszczonewdefinicjistabilnościasymptotycz-
nejjestkonieczneprzekonujepodanyw[Hahn,1967]przykładukładu,wktórympunkt
równowagimaobszarprzyciągania,aleniejeststabilny.
Przykład1.2
Rozważmysystemnieliniowydrugiegorzęduopisanyrównaniami
x1=
x2=
˙
˙
(x2
(x2
1+x2
1+x2
x2
1(x2–x1)+x5
x2
2)(1+(x2
2)(1+(x2
2(x2–2x1)
1+x2
1+x2
2
2)
2)
2)
2)
(1.17)
System(1.17)majedenpunktrównowagi(xe13xe2)=(030).Narysunku1.3pokazano
kilkawybranychtrajektoriistanurozważanegoukładu.
Jakpokazanow[Hahn,1967],obszaremprzyciąganiajestcałapłaszczyznaR2.Mimo
toniesąspełnionewarunkidefinicji1.4ipunktrównowaginiejeststabilnywsensie
Lapunowa.Zostaniepokazanatakaliczba8>0,dlaktórejnieistniejeδdającaprawdzi-
wośćimplikacji(1.12)–trajektoriarozpoczynającasiędowolniebliskopunkturównowagi
opuszczajegootoczenieopromieniu8.
WeźmypoduwagędomkniętytrójkątTograniczonyprzezdodatniąpółośx2,prostą
x2=3x1orazprostąx2=a<
√27
1
(rys.1.4).Wewnątrztegotrójkątainajegokrawę-
dziach˙
x2>0i˙
x1>0,anaodcinkuOPjestspełnionazależność
dx2
dx1
=
x2
1(x2–x1)+x5
x2
2(x2–2x1)
2
=
2+27x2
9
2
>3.
(1.18)
Wynikastąd,żejeżelitrajektoriaukładuznajdziesięwtrójkącieT,todalejtrajektoriamusi
przebiegaćtak,żeobiezmiennestanurosną,agdybytrajektoriadotarładoodcinkaOP,to
zuwagina(1.18)zostałabyskierowanadownętrzatrójkątaT.Takwięckażdatrajektoria
zwarunkiempoczątkowymwewnątrztrójkątaOPQmusiprzeciąćodcinekQP.
Niech8=a.Rozważmytrajektorięzwarunkiempoczątkowymx1=0,x2=δ<a.
MusionaprzeciąćodcinekQP,musiwięcopuścićotoczeniepunkturównowagiopro-
mieniu8=aniezależnieodtego,jakmałajestodległośćδwarunkupoczątkowegood
punktu(0,0),czyliukładjestniestabilny.Narysunku1.4pokazanopoczątkowyikońcowy
fragmenttrajektoriidlawarunkupoczątkowego(0;10–10).
