Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.RównaniasieciWN
63
mocybiernejwęzławytwórczego,toakceptujesięostatnioobliczonewartościna-
pięcia.Następniezapomocąnierówności(1.89)sprawdzasięspełnieniezadanej
dokładności.Jeślinierównośćniejestspełniona,towracasiędowykonaniakolejnej
iteracji.Jeślinierównośćjestspełniona,toobliczasięprądyimocewewszystkich
(lubzadanych)gałęziachsieciorazstartymocyczynnejibiernej.
ZaletąmetodyGaussa-Seidelajestjejprostota.Wadąnatomiastjestpowolna
zbieżnośćwotoczeniurozwiązania.Błędy
x
l
+_
1
x
l
szybkomalejązkażdymkro-
kiemnapoczątku,gdyprzybliżeniejestodległeodrozwiązania.Gdyprzybliżenia
zbliżająsiędorozwiązania,napoprawędokładnościjestwymaganacorazwiększa
liczbaiteracji.
MetodaNewtona
WmetodzieNewtonazakładasię,że
x
l+
1
jestrozwiązaniemrównania
Fx
()=0
,
a
xjestjegoprzybliżeniem.KorzystajączrozwinięciafunkcjiwszeregTaylora
l
poszukujesiętakiego
∆
x
(1)
l
+
=
(
x
l
+
1
_
x,przyktórym
l
)
Fx
(
()
l
)
+
(
I
k
I
I
F
x
]
I
)
l
∆
x
(1)
l
+
+
1
2
(
I
k
I
I
2
x
F
2
]
I
)
l
∆
x
(1)
2
l
+
+
...
=
0
Popominięciuwyrazówwyższegorzęduotrzymujesię
(
I
k
I
I
F
x
]
I
)
l
∆
x
(1)
l
+
=_
Fx
(
()
l
)
lub
∆
x
(1)
l
+
=_I
(
k
I
I
F
x
]
I
)
-
l
1
Fx
(
()
l
)
Stąd
x
(1)
l
+
=
x
l
_I
(
k
I
I
F
x
]
I
)
-
l
1
Fx
(
()
l
)
x
l
+
1
=
x
l
+∆
x
(1)
l
+
lub
(1.93)
(1.94)
(1.95)
gdzie[
I
F
/
I
xjestmacierząJacobiego(macierzpochodnychcząstkowych).Jak
]
widać,wdanymkrokudoobliczenianowegoprzybliżeniatrzebarozwiązaćrów-
nanieliniowe(1.94).Wprzypadkugdyliczbarównańjestbardzoduża(jakwrze-
czywistychSEE),równańtychnierozwiązujesięprzezjawneobliczenieinwer-
sjimacierzyJacobiego,leczzapomocąjejfaktoryzacjiipodstawieńwstępnych
iwstecznych[86].
WprzypadkuSEEmetodąNewtonarozwiązujesięrównania(1.70),(1.71)lub
(1.72),(1.73)przyzałożeniu,że(zgodnieztabl.1.4)dlawęzłówodbiorczychsą
zadanezarównomocczynna,jakimocbierna,adlawęzłówwytwórczychtylko
mocczynna.Przytakimpodzialewęzłówrównanieprzyrostowe(1.78)możebyć
zapisanewnastępującysposób:
