Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
38
24.wprowadzeniehistoryczne
Założenie,żemacierząSrządzilokalnakwantowateoriapola,niejestko-
nieczne.Dowódprzedstawionytutajjestniecoinaczejuszeregowany,ulepszony
ipodajejawniepewnekroki,któreColemaniMandulapozostawilidozrobienia
czytelnikowi.
Wygodniejestrozpocząćodudowodnieniategotwierdzeniadlapodalgebry
składającejsięztychgeneratorówsymetriiBO,którekomutujązoperatorem
czteropęduPM.(Taczęśćtwierdzeniamasamawsobiepewneznaczenie:wyklu-
czaonawystępowaniewteoriachrelatywistycznychsymetriidziałającychwtaki
sposóbjaksymetriaSU(6)nierelatywistycznegomodelukwarkowego).Działanie
takichgeneratorówsymetriinastanywielocząstkowejestdaneprzez
BO!Im;qπ;)))>1v
(bO(I))m!m!Im
/;qπ;)))>
+v
m!
(bO(q))n!n!Im;qπ
/;)))>+uuu;
(24)B)1)
n!
gdziem,πitd.sądyskretnymiwskaŹnikaminumerującymiskładoweZ-owespinu
irodzajecząstekodobrzeokreślonychmasach/
;IMIM,abO(I)sąmacierzami
hermitowskimiskończonegowymiarudefiniującymidziałanieoperatorówBOna
stanyjednocząstkowe.
Zewzoru(24.B.1)możemyterazzobaczyć,żeodwzorowanieprzeprowadza-
jącegeneratorBOwmacierzbO(I)dlajakiegośustalonegopęduIjesthomomor-
fizmemwtymsensie,żezwiązkikomutacyjne
[BO;B;]1źv
C7
O;B7
(24)B)2)
7
sątakżespełnioneprzezmacierzehermitowskiebO(I):
[bO(I);b;(I)]1źv
C7
O;b7(I))
7
(24)B)3)
Znanetwierdzenieudowodnionewpodrozdziale15.2mówinam,żekażdaal-
gebraLiegomacierzyhermitowskichskończonegowymiaru,takichjakbO(I),
musibyćsumąprostąjakiejśzwartejpółprostejalgebryLiegoialgebrU(1).Nie
możemyjednaknatychmiastprzenieśćtegowynikunaalgebręoperatorówBO,
ponieważhomomorfizmmiędzygeneratoramiBOimacierzamibO(I)niemusi
gdyv
byćizomorfizmem.Izomorfizmembyłbyonwtedy,gdybywkażdymprzypadku,
v
łobyrównoważnewarunkowiv
OCObO(k)10zachodziłtakżedlawszystkichinnychpędówk.Dopierotoby-
OCObO(I)10dlajakichśwspółczynnikówCOijakiegośpęduI,związek
OCOBO10.
ZamiastrozważaćhomomorfizmodwzorowującygeneratoryBOwjednocząst-
kowemacierzebO(I),ColemaniMandularozpatrzylihomomorfizm,któryodwzo-
rowujegeneratoryBOwmacierzedefiniująceichdziałanienastanydwucząstkowe
