Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
CzesławDomański
Twierdzenie1.5.Jeżelifunkcjawiarygodnościmapostać:
9
gdzieAjestsymetryczną9dodatniookreślonąmacierzą9którejelementyzależą
odobserwacjizpróbyorazznanychparametrów9bjestskalarem9zaś
θ
̂oznacza
funkcjęwartościpróbylosowej9totestyilorazuwiarygodności9Waldaimnożni-
kówLagrange3asąrównoważne.
Jeżelifunkcjawiarygodnościjestgładkąkrzywą9którąmożnaprzybliżać
zapomocąfunkcjikwadratowej9wszystkietrzytestydająpodobnewyniki.Do-
breprzybliżeniezapomocąfunkcjikwadratowejzazwyczajosiągasiędladużych
próbwotoczeniupunktu
θ
0.
1.3.Statystyczneproblemydecyzyjne
Koniecznośćanalizystatystycznejwypływazfaktu9żerozkładzmiennejlo-
sowejX9azatempewneelementysytuacjistanowiącejpodstawęmodelumatema-
tycznegoniesąznane.Ujmującściślej9przypuśćmy9żenależydokonaćwyboru
wśródkilkuwariantówdziałań.Wynikiobserwacji9dostarczającnaminformacji
orozkładziepopulacji9zktórejpochodzą9dająrównieżwskazówkionajlepszej
decyzji.Problempoleganawyznaczeniureguły9przyporządkowującejkażdemu
zbiorowiwartościobserwacjidecyzję9którapowinnabyćwybrana.Zpunktuwi-
dzeniamatematycznegotakąregułąjestfunkcja
δ
przyporządkowująca-każdej
możliwejwartościxzmiennejlosowej-decyzjęd=
δ
(
x
)
9tzn.funkcja9którejdzie-
dzinąjestzbiórwartościzmiennejlosowejX9aprzeciwdziedziną-zbiórmożli-
wychdecyzji.
Rozważmymodelstatystyczny(
χ
9
{
P
θ:
θ
∈Θ
}
)orazdwadodatkoweobiek-
ty:zbiórAinieujemnąfunkcjęL:Θ×A→R
1.ZbiórAnazywamyzbioremdecy-
zji(lubzbioremakcji)9jegoelementyd
∈
Anazywamydecyzjami(lubakcjami)9
afunkcjęLnazywamyfunkcjąstraty.WartośćL
(
θ
9d
)
tejfunkcjiinterpretujemy
jakowielkośćstraty9jakąponosimywtedy9gdyobserwacjaXmarozkładP
θ(gdy
„prawdziwym”rozkłademjestP
θ)9apodjętazostajedecyzjad.
DecyzjesąpodejmowanenapodstawieobserwacjiX.Każdafunkcja
δ
:X→Aokreślanastępującąregułępostępowania:jeżelizaobserwowanox
∈
X9
należypodjąćdecyzję
δ
(
x
)
.Funkcję
δ
nazywamyregułądecyzyjną9azbiórroz-
ważanychregułdecyzyjnychoznaczamyprzez
D
.
Ogólniej9niechA
*będzierodzinąwszystkichrozkładówprawdopodobień-
stwanaAiniech
δ
*:X→A*.Funkcję
δ
*nazywamyrandomizowanąregu-
łądecyzyjną.Randomizowanareguładecyzyjnaokreślanastępującyalgorytm
postępowania:jeżelizaobserwowanox
∈
X9należydecyzjęwylosowaćwedług
