Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Testystatystyczneidecyzjestatystyczne
27
rozkładuprawdopodobieństwa
δ
*
(
x
)
.Chociażwwieluzagadnieniachoptymalny-
miregułamidecyzyjnymiokazująsięrandomizowaneregułydecyzyjne9wna-
szejksiążceograniczamysiędoprezentacjiteoriidecyzjistatystycznychtylko
wstopniupozwalającymnapozostaniewzbiorze
D
nierandomizowanychreguł
decyzyjnych.
WielkośćE
θL
(
θ
9
δ
(
X
))
jestoczekiwanąstratą9gdyobserwacjaXmarozkład
P
θ9apostępujemywedługregułydecyzyjnej
δ.
Funkcjapostaci:
(1.29)
nazywasięryzykiemlubfunkcjąryzykaregułydecyzyjnej
δ
.
Teoriadecyzjistatystycznychzajmujesiękonstruowaniemnajlepszychreguł
decyzyjnych.Oczywiściezależnieodtego9jakisensnadajesięzdaniu:„reguła
decyzyjna
δ
1jestlepszaodregułydecyzyjnej
δ
2”9otrzymujesięróżne„najlep-
sze”regułydecyzyjne.
Abyzobaczyć9jaknależywybierać
δ,
trzebaporównaćskutkiwynikające
zposługiwaniasięróżnymiregułami.Wtymceluzałóżmy9żewybórdecyzjid9
gdyP
θjestrozkłademzmiennejlosowejX9powodujestratę9którąmożnawyrazić
zapomocąnieujemnejliczbyrzeczywistejL
(
θ
9d
)
.Przeciętnastrata9powstająca
przyużyciureguły
δ
wdługiejseriipowtórzeńdoświadczenia9jestwięcrówna
wartościoczekiwanejE
θL
(
θ
9
δ
(
X
))
obliczonejprzyzałożeniu9żeP
θjestprawdzi-
wymrozkłademzmiennejlosowejX.Tęwartośćoczekiwanązależnąodreguły
wyborudecyzji
δ
irozkładuP
θ
nazywaliśmyfunkcjąryzykareguły
δ
iozna-
czaliśmyprzezR
(
θ
9
δ
).
Opierającdecyzjęnawynikachobserwacji9zamieniamy
wyjściowyproblemwyborudecyzjidzfunkcjąstratyL
(
θ
9d
)
naproblemwyboru
reguły
δ
9gdziestratąjestterazR
(
θ
9
δ
)
.
Metodypotrzebnedorozwiązaniakonkretnegoproblemustatystycznegoza-
leżąwyraźnieodtrzechczynników9któregookreślają:klasy
P
={P
θ:
θ∈Ω
},
októrejzakładasię9żezawierarozkładzmiennejlosowejX9strukturyprzestrzeni
D
możliwychdecyzjidorazpostacifunkcjistratyL.Wceluotrzymaniakon-
kretnychwynikówtrzebaprzyjąćwyraźnezałożeniaotychtrzechczynnikach.
Zdrugiejstrony9jeślirozpatrywanateoriamabyćczymświęcejniżzbioremizo-
lowanychwyników9tozałożeniatemusząbyćdostatecznieogólne9abymiały
bądźszerokiezastosowania9bądźteżwydzielałyklasyproblemów9któremożna
traktowaćwjednolitysposób.
Zajmiemysięnajpierwokreśleniemklasy
P
.Dokładneliczbowezałożenia
oprawdopodobieństwachlubrozkładachprawdopodobieństwniesąprzeważnie
możliwe.Częstojednakmożnaprzyjąć9żepewnezdarzeniamająrównepraw-
dopodobieństwo9ainnesąstatystycznieniezależne.Innytypzałożeńdotyczy
względnejwielkościpewnychgranicznychprawdopodobieństw9np.prawdopo-
dobieństwazajściazdarzeniawpewnymprzedzialeczasulubprzestrzeni9którego
długośćzmierzadozera.
