Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawyalgebry,Warszawa2008
ISBN978-83-01-14252-0,©byWNPWN2004
12
ROZDZIAŁ1.POCZĄTKIALGEBRY
równieżukład(2)powstajez(2!)wwynikujednejoperacjielementarnej,gdyż
operacjetesąodwracalne:wprzypadku(I),zamieniajączpowrotemmiejscami
równaniaź-teik-te,wrócimydopierwotnegoukładu;podobniewprzypadku(II),
dodającdoź-tegorównaniaw(2!)równaniek-te,pomnożoneprzez−c,otrzy-
mamyzpowrotemź-terównanieukładu(2).
Udowodnimyteraz,żekażderozwiązanie(^
x1j...j^
xn)układu(2)jestrównież
rozwiązaniemukładu(2!).Jeśliwykonaliśmyoperacjętypu(I),tosamerówna-
nianieuległyzmianie,zmieniłasiętylkoichkolejność.Wobectegorozwiązanie
układu(2)jestteżrozwiązaniem(2!).Wprzypadku(II)wszystkierównaniapoza
ź-tympozostajątesame,awięc(^
x1j...j^
xn)napewnojespełnia;równanieź-te
natomiastprzyjęłopostać(∗).Ponieważ(^
x1j...j^
xn)spełniarównanieź-teik-te
układu(2),więc
aż1^
x1+...+ażn^
xn=bżj
ak1^
x1+...+akn^
xn=bk.
Mnożącdrugieztychrównańprzezc,dodającdopierwszegoigrupującwyrazy
z^
xj,otrzymamytożsamośćpostaci(∗)zxż=^
xż.
Wobecwspomnianejwyżejodwracalnościoperacjielementarnychtosamoro-
zumowaniepokazuje,żeinaodwrót,każderozwiązanieukładu(2!)jestrozwią-
zaniemukładu(2).
Pozostajezauważyć,żesprzecznośćjednegoztychukładówimplikujesprzecz-
nośćdrugiego(dowódniewprost).
3.Sprowadzaniedopostacischodkowej.Stosująckolejnooperacjeele-
mentarne,możnaznacznieuprościćdanyukładrównańliniowych(1).
Wykluczamynarazietrywialnyprzypadek,gdywszystkiewspółczynnikiażj
sąrównezeru.Niechpbędzienajmniejszymnumeremkolumny,wktórejwystę-
pująwyrazyróżneodzera,tj.ajk=0dlak<piwszystkichj,aleajp/=0
dlapewnegoj.Możesięzdarzyć,żea1p/=0;jeślinie,tozamieniamymiejscami
pierwszerównanie(operacjatypu(I))zj-tym,wktórymajp/=0.Współczynnik
przyxpwpierwszymrównaniujestwięcterazróżnyodzera.Oznaczmygoprzez
a!
1p.Następnieodejmujemykolejnoodź-tegorównania(ź=2j3j...jm)nowego
układurównaniepierwsze,pomnożonezakażdymrazemprzeztakąliczbęcż,by
poodjęciuwspółczynnikprzyxpbyłrównyzeru(m−1operacjitypu(II)).Ja-
sne,żenależywtymceluprzyjąćcż=a!
żp/a!
1p.Wrezultacieotrzymamyukład,
wktórymxpwystępujetylkowpierwszymrównaniu,ax1j...jxp11niewystępują
wogóle.Możesięprzytymzdarzyć,żexp+1równieżniewystępujewrównaniach
znumeramiź>1.Niechxkbędzieniewiadomąonajmniejszymnumerzespośród
(
1)Wtłumaczeniutegopunktudokonanodrobnychuściśleń(przyp.tłum.).
