Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawyalgebry,Warszawa2008
ISBN978-83-01-14252-0,©byWNPWN2004
14
ROZDZIAŁ1.POCZĄTKIALGEBRY
TWIERDZENIE2.Każdyukładliniowyjestrównoważnypewnemuukładowi
opostacischodkowej.
Dowód.Tezazostałajużuzasadnionawpowyższymrozumowaniu.Jeśliwszyst-
kieażj=0,tooczywiścieprzyjmujemy,żeukładjestjużwpostacischodkowej.
Czasamiwygodniejestprzyjąć,żeoperacjeelementarnewykonujesięniena
układzie,alenajegomacierzyrozszerzonej(ażj|bż).Wówczaszdowodutwierdze-
nia2możnawywnioskować:
TWIERDZENIE2!.Każdąmacierzmożnasprowadzićdopostacischodkowejza
pomocąoperacjielementarnych.
4.Badanieukładurównańliniowych.Wobectwierdzeń1i2kwestięnie-
sprzecznościioznaczonościwystarczyrozpatrywaćdlaukładówopostacischod-
kowej(4).
Zacznijmyodproblemuniesprzeczności.Jasnejest,żejeśliukład(4)zawiera
równanie0=bt,alebt/=0,toukładjestsprzeczny,borówności0=btnie
możnaspełnićprzyżadnychwartościachniewiadomych.Udowodnimy,żejeśli
takichrównańwukładzie(4)niema,tojestonniesprzeczny.
Załóżmywięc,żebt=0dlat>T.Nazwijmyniewiadomexpjxkjxlj...jxs,
odktórychzaczynająsięodpowiedniopierwsze,drugie,
...jT-terównanie—
niewiadomymigłównymi,apozostałeniewiadome(oileistnieją)—wolnymi.
Niewiadomychgłównychjestwięc,namocydefinicji,T.
Nadajemywolnymniewiadomymdowolnewartościipodstawiamyjedoukła-
du(4).WówczasT-terównanieprzybierapostaćaxs=b,przyczyma=ars/=0;
równanietomadokładniejednorozwiązanie.Znalezionąwartośćxs=^
xspod-
stawiamydopierwszychT−1równańiposuwającsiętakdalejwgóręukładu
(4),stwierdzamy,żewartościniewiadomychgłównychsąwyznaczonejednoznacz-
nieprzydowolniewybranychwartościachniewiadomychwolnych.Udowodniliśmy
więc
TWIERDZENIE3.Układrównańliniowychjestniesprzecznywtedyitylkowte-
dy,gdyposprowadzeniugodopostacischodkowejniewystępująwnimrównania
postaci0=btzbt/=0.Jeśliwarunektenjestspełniony,toniewiadomewolne
mogąprzyjmowaćdowolnewartości;przydanychwartościachniewiadomychwol-
nychniewiadomegłównemożnawyznaczyćzukładujednoznacznie.
Wyjaśnimyteraz,kiedyukładjestoznaczony,przyzałożeniu,żespełniony
jestpowyższywarunekniesprzeczności.Jeśliwukładzie(4)występująniewia-
domewolne,toukładjestoczywiścienieoznaczony:niewiadomymtymmożna
przypisaćdowolnewartości,aniewiadomegłównewyrazićprzeznienapodstawie
twierdzenia3.Jeślinatomiastniemawolnychniewiadomych,awięcwszystkie
