Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
ZADANIA•1.CAŁKARIEMANNA–STIELTJESA
∫
a
b
f(x)dα(x)=∫
a
b
f(x)α!(x)dx+f(a)(α(a+)−α(a))
m
+
Σ
f(ck)(α(c
+
k)−α(c
-
k))+f(b)(α(b)−α(b-)),
k=1
gdzieck,k=1,2,...,m,sąpunktaminieciągłościfunkcjiαw(a,b).
1.1.25.Obliczyćcałkę∫
-2x2dα(x),gdzie
2
α(x)=
(
'
{
'
L
x+2
2
x2+3
dla
0≤x≤2.
dla−2≤x≤−1,
dla−1<x<0,
1.1.26.Udowodnićpierwszetwierdzenieowartościśredniej.
Jeślifjestfunkcjąciągłąiαjestfunkcjąrosnącąna[a,b],toistniejetakipunkt
c∈[a,b],że
∫
a
b
f(x)dα(x)=f(c)(α(b)−α(a)).
1.1.27.Wykazać,żejeślifjestfunkcjąciągłąiαjestfunkcjąściślerosnącąna
[a,b],toistniejepunktc∈(a,b),dlaktóregoprawdziwajestrównośćwpierw-
szymtwierdzeniuowartościśredniejpodanymwpoprzednimzadaniu.
1.1.28.
(a)Załóżmy,żefjestfunkcjąciągłąna[0,1]iżeaorazbsąliczbamidodatnimi.
Znaleźćgranicę
e→o+∫
lim
ae
be
f(x)
x
dx.
(b)Obliczyć
n→∞∫
lim
o
1
1+x
xn
dx.
1.1.29.Załóżmy,żefjestfunkcjąciągłąiαjestfunkcjąściślerosnącąna[a,b],
iniech
F(x)=∫
a
x
f(t)dα(t).
Wykazać,żedlax∈[a,b]prawdziwajestrówność
h→o
lim
F(x+h)–F(x)
α(x+h)–α(x)
=f(x).
1.1.30.Załóżmy,żefjestfunkcjąciągłąna[a,b],αjestfunkcjąciągłąiściśle
rosnącąnatymprzedziale.Załóżmyponadto,żegranica
h→o
lim
α(x+h)–α(x)
f(x+h)–f(x)
=
dα
df
(x)
istniejeijestfunkcjąciągłąna[a,b].Wykazać,że
∫
a
b
dα
df
(x)dα(x)=f(b)−f(a).
