Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
ZADANIA•1.CAŁKARIEMANNA–STIELTJESA
1.2.5.Niech
f(x)=xαcos
0
xβ
π
dlax∈(0,1],
dlax=0,
gdzieα∈RiB>0.Wykazać,żefjestfunkcjąowahaniuskończonymwtedy
itylkowtedy,gdyα>B.
1.2.6.Wykazać,żejeślifunkcjafmawahanieskończonena[a,b],tofjest
ograniczonana[a,b].
1.2.7.Wykazać,żejeślifigsąfunkcjamiowahaniuskończonymna[a,b],
toiloczynfgjestrównieżfunkcjąowahaniuskończonymnatymprzedziale.
Ponadto,jeśliinf
|f(x)|>0,toilorazg/fjestfunkcjąowahaniuskończonym
x∈[a,b]
na[a,b].
1.2.8.Czyzłożeniedwóchfunkcjiowahaniuskończonymjestfunkcjąowahaniu
skończonym?
1.2.9.Wykazać,żejeślifspełniawarunekLipschitza,agjestfunkcjąowahaniu
skończonym,tozłożenief◦gmawahanieskończone.
1.2.10.Wykazać,żejeślifjestfunkcjąowahaniuskończonymna[a,b],to|f|p,
1≤p<+∞,jestrównieżfunkcjąowahaniuskończonymnatymprzedziale.
1.2.11.Udowodnić,żejeślifjestfunkcjąciągłąna[a,b]i|f|mawahanieskoń-
czonena[a,b],tofunkcjafmarównieżwahanieskończone.Pokazać,żezało-
żenieciągłościfunkcjifjestistotne.
1.2.12.Pokazać,żejeślifigsąfunkcjamiowahaniuskończonymna[a,b],to
równieżh(x)=max{f(x),g(x)}jestfunkcjąowahaniuskończonymnatym
przedziale.
1.2.13.Mówimy,żefunkcjaf:A→R,A⊂R,spełniawarunekH¨
oldera
(nazywanyrównieżwarunkiemLipschitzarzęduα)naA,jeśliistniejątakie
stałedodatnieMiα,że
|f(x)−f(x!)|≤M|x−x!|α
dla
x,x!∈A.
(a)Pokazać,żefunkcja
f(x)=
0
ln(1/x)
1
dlax∈(0,1/2],
dlax=0
mawahanieskończonena[0,1/2]iniespełniawarunkuH¨
oldera.
(b)Niechxn=Σ
∞
k=n
kln2k
1
,n=2,3,...,iniechfbędziefunkcjąciągłąna
[0,x2]zdefiniowanąwnastępującysposób:
f(0)=f(xn)=0,
f(
xn+xn+1
2
)=
n
1
,
n=2,3,...,
