Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
ZADANIA•1.CAŁKARIEMANNA–STIELTJESA
TWIERDZENIE3.Załóżmy,żefjestfunkcjąciągłąiαjestfunkcjąowahaniuskoń-
czonymna[a,b]lubżeobiefunkcjefiαsąowahaniuskończonymiαjestciągłana
[a,b].Wtedy
l
l∫
l
l
a
b
f(x)dα(x)
l
l
l
l
≤∫
a
b
|f(x)|dvα(x),
gdzievα(x)oznaczawahaniefunkcjiαna[a,x],a≤x≤b.
1.3.1.Obliczyćcałkę∫
-1xdα(x),gdzie
2
α(x)=
(
'
{
'
L
0
1
−1
dlax=−1,
dla−1<x<2,
dla2≤x≤3.
1.3.2.Załóżmy,żefmawahanieskończonena[0,2π]if(0)=f(2π).Wykazać,
żewartośćbezwzględnakażdejzcałek
∫
o
2π
f(x)cosnxdx
i
∫
o
2π
f(x)sinnxdx
nieprzekraczaV(f;0,2π)/n.
1.3.3.Załóżmy,żefigsąfunkcjamiciągłymina[a,b]iαmawahanieskończone
natymprzedziale.Udowodnić,żejeśli
B(x)=∫
a
x
f(x)dα(x),
a≤x≤b,
to
∫
a
b
g(x)dB(x)=∫
a
b
g(x)f(x)dα(x).
1.3.4.Niech{xn}będzieciągiemróżnychpunktówprzedziału(0,1)iniech
cn>0będątakie,żeΣ
∞
n=1cn<∞.Połóżmy
α(x)=
n=1
Σ
∞
cnρ(x−xn),
gdziefunkcjaρjestokreślonawzorem
ρ(x)={
0
1
dlax<0,
dlax≥0.
Udowodnić,żejeślifjestfunkcjąciągłąna[0,1],to
∫
o
1
fdα=
n=1
Σ
∞
cnf(xn).
